DI GINO LORIA 245 



lì complesso contiene dite serie semplicemente infinite di reti. Per dimostrarlo 

 si può osservare che si può sempre stabilire una corrispondenza proiettiva fra due 

 complessi quadratici semplicemente speciali (cfr. n. 25), che pel complesso quadratico 

 (semplicemente speciale) formato dalle sfere che hanno i centri in una data quadrica 

 e sono ortogonali a una sfera fissa la proposizione sussiste, e concluderne quindi la 

 verità generale. 



Da ciò che si disse ora risulta che il primo dei complessi quadratici particolari, 

 di cui abbiamo tenuto parola al n. 28, è speciale: del resto si può anche verificarlo 

 calcolandone il discriminante. 



37. I subdeterminanti di quarto ordine del determinante di a^.^ non godono di 

 proprietà invariantive rispetto al complesso a^^. := ; ma l'annullarsi di tutti questi 

 subdeterminanti dà una specializzazione del complesso che si mantiene per trasfor- 

 mazioni lineari dello spazio di sfere. Diremo doppiamente speciale un complesso qua- 

 dratico che goda di questa proprietà. 



Un complesso doppiamente speciale ha un fascio di sfere dopane (v. n. prec.) 

 pel quale passano i complessi polari di tutte le sfere dello spazio. Tutte le sfere 

 di una rete passante pel fascio di sfere doppie hanno lo stesso complesso polare. 

 Le sfere del complesso sono distribuite in una schiera di oo' reti passanti pel 

 fascio di sfere do]}pie. 



Il secondo dei complessi quadratici particolari, di cui parlammo al n. 28, è doppia- 

 mente speciale : lo si può anche verificare dimostrando che i sub determinanti di quarto 

 ordine del suo determinante sono tutti nulli. 



Quando finalmente si annullano tutti i subdeterminanti di terzo ordine del determi- 

 nante di «^.,. , il complesso quadratico a^^ = contiene una congruenza lineare di sfere 

 doppie; tutte le sfere del complesso lineare che si ottiene congiungendo una sfera 

 qualunque di a^.^. = colla congruenza di sfere doppie, appartengono al dato complesso 

 quadratico ; per conseguenza questo si scinde in due complessi lineari passanti per la 

 congruenza di sfere doppie. 



38. Dati due complessi quadratici di sfere: 



tutti i complessi quadratici passanti per la congruenza ad essi comune hanno equazioni 

 della forma: 



e costituiscono un gruppo binomio ovvero un fascio di complessi quadratici. I com- 

 plessi polari di una sfera rispetto ai complessi del fascio costituiscono un gruppo bi- 

 nomio il cui sostegno si dirà congruenza coniugata della sfera considerata rispetto 

 al fascio ; i complessi polari delle sfere di un fascio rispetto a un fascio di complessi 

 quadratici costituiscono un gruppo tetranomio il cui sostegno si dirà sfera coniugata 

 del fascio di sfere rispetto al fascio di complessi quadratici. 



