246 RICERCHE INTOKNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



Queste proposizioni possono servire di base a una teoria delle polarità rispetto a 

 iin fascio di complessi quadratici. 



39. Il discriminante del complesso quadratico 



può scriversi per disteso così: 



(24) A,„^^, =Aj' + Q^l^iJ. + <l>J.'p.' + ^,l^ii.' + Q,lp.' + A,^} 



ove A„ e Assono i determinanti dei due complessi a^^=:0, &_j^=:0 ed è 



•!•« = 2 ± &„ 6,, ff 33 ra^,^ «5, + . . . + 2 ± a , , a„ «33 &,^ ,_ 65, , 



mentre 0^ e $^ si ottengono da questi scambiando fra loro le lettere a, b. 



I coefficienti delle potenze di 1 e p. nella (24) sono invarianti simultanei dei due 

 complessi a^^=: , 0^^^= . Per determinare il significato geometrico del loro an- 

 nullarsi premettiamo i due lemmi seguenti (*) : 



I. Dati due complessi quadratici di sfere A e B è in generale possibile de- 

 terminare tin sistemu di cinque sfere costituenti un sistema autoconiugato rispetto 

 a uno dei complessi dati e di cui quattro sfere appartengano all'altro complesso. 



Prendiamo, infatti, in A una sfera arbitraria S^ e cerchiamone il complesso polare 

 (7, rispetto a. B ; C, seca A in una congruenza quadratica composta di sfere coniugate 

 ad S^ rispetto a B. Prendiamo in essa ad arbitrio una sfera S_^ e cerchiamone il com- 

 plesso polare C^ rispetto a B\ A„ C,, C^ si secano in una serie quadratica tutta co- 

 stituita di sfere coniugate ad S„ S^. Prendiamo infine in questa ad arbitrio una sfera 

 S^ e cerchiamone il complesso polare C3 rispetto 3. B . A, C„ G^, C3 hanno comune 

 due sfei'e una delle quali diremo S^ . Le quattro sfere S, S^ S^ S,^ appartengono al com- 

 plesso A e sono due a due coniugate rispetto a B ; se ad esse associamo la sfera 

 S^ coniugata rispetto a B del complesso da esse determinato otterremo un sistema di 

 cinque sfere autoconiugato rispetto & B e Ai cui quattro sfere appartengono ad A. Il 

 teorema enunciato resta così dimostrato. 



Se si prende per sistema di riferimento l'insieme di cinque sfere che a due coniu- 

 gate rispetto a un complesso di 2" grado l'equazione di questo conterrà evidentemente 

 i soli quadrati delle variabili; se invece un complesso di 2° grado contiene I"*"'" sfera 

 fondamentale nella sua equazione mancherà il termine in x^"". Per conseguenza la pro- 

 posizione dimostrata può anche enunciarsi così: 



(*) Per le ricerche analoghe nello spazio ordinano, veJi la memoria del Lììroth avente per titolo; 

 Ueber Polartetraeder und die Schniltcurve siceisr Flàche sweiler Ordnung (Zeitschi'ift fùr Matematik und 

 Physik, Bd. XIII, 1868, pag. 404). 



