[di GINO LOKIA 247 



Le equazioni di due compiessi quadratici sì possono in generale ridurre alla 

 forma : 



(25) ... \ ^ 



I 655 % + 2 i, h^^Xi Xi- =0 {iJc combinazione binaria di 1.2.3.4.5). 



I ik 



Analogamente si dimostra (cfr. l'oss. fatta al n. 31): 



Dati due complessi quadratici di sfere A e B è in generale possibile determi- 

 nare un sistema di cinque sfere costituenti un sistema autoconiugato rispetto all'uno 

 dei complessi dati e tali die quattro dei cinque complessi lineari determinati da 

 quattro di esse tocchino l'altro. 



II. Dati due complessi quadratici A. e B si possono in generale trovare 

 cinque sfere due a due coniugate rispetto a uno dei complessi dati e tali die nove 

 dei dieci fasci che le congiungono due a due siano tangenti all'altro complesso. 



Per dimostrare questo teorema prendiamo ad arbitrio una sfera S e troviamone 

 il complesso polare C rispetto ad A e costruiamo quel complesso quadratico speciale 

 r che è costituito da tutti i fasci passanti per S e tangenti a B (n. 26). È chiaro che 

 quattro sfere formanti con S un sistema della specie di cui parla il teorema dovranno 

 giacere nella congruenza d'intersezione di C e F, dovranno essere due a due coniugate 

 rispetto al complesso A e infine dovranno esser tali che cinque dei fasci che le con- 

 giungono due a due tocchino il complesso JB. Siccome il complesso lineare di sfere C 

 è uno spazio lineare a tre dimensioni i cui punti sono rappresentati dalle sfere e 

 le tre congruenze quadratiche in esso contenute C A, CJB, CT sono tre quadriche 

 generali di questo spazio, così la ricerca delle quattro sfere ultime nominate equivale 

 aUa seguente: 



In uno spazio lineare a tre dimensioni sono date tre quadriche; determinare, 

 se è possibile, un sistema di quattro punti posti su una delle quadriche, due a 

 due coniugati rispetto a una seconda, e tali che cinque delle loro sei congiungenti 

 tocchino la terza quadrica. 



Potremo, senza nuocere alla generalità, supporre che lo spazio lineare sia preci- 

 samente lo spazio ordinario di punti: allora si vede che affinchè il problema proposto 

 si possa risolvere, debbono essere verificate tre condizioni. 



Infatti, prima di tutto, bisogna che le due prime quadriche siano in involuzione, 

 e in questo caso vi sono oo^ tetraedri inscritti nella prima quadrica e autoconiugati 

 rispetto aUa seconda ; affinchè uno di questi tetraedri abbia cinque spigoli tangenti 

 alla terza quadrica, bisogna che siano soddisfatte cinque condizioni , dunque la po- 

 sizione della terza quadrica rispetto alle prime due deve essere doppiamente speciale. 

 Onde in totale le tre quadriche date debbono soddisfare a tre condizioni , come 

 già si disse. 



Eitornando ora allo spazio di sfere, vedremo che se si prende ad arbitraria la sfera 

 S non si potranno in generale trovare le quattro sfere formanti con S un sistema 

 della specie voluta ; ma siccome oo* sono i modi con cui può scegliersi S mentre 



