248 RICERCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



soltanto tre sono le condizioni a cui si deve soddisfare, così vi sarà un numero sem- 

 plicemente infinito di sistemi di sfere per cui sono soddisfatte tutte le condizioni 

 enumerate nel teorema : questo resta per conseguenza dimostrato. 



Analogamente si dimostra che : Dati due com]ìlessi quadratici si può determinare 

 un sistema di cinque sfere due a due coniugate rispetto ad uno di essi e determi- 

 nante tre a tre dieci reti di cui nove siano tangenti aìVaìtro del complessi dati. 



Ciò posto, supponendo ridotte le equazioni di due complessi quadratici alla forma 

 (25), avremo: 



ora se 0^ = e A^ non è nullo, si deve avere 



epperò anche la quinta sfera fondamentale appartiene al complesso B. Dunque V in- 

 variante simultaneo 0^ col suo annullarsi dice esservi un sistema di cinque sfere 

 appartenenti al complesso B e due a due coniugate rispetto ad A. 



Analogamente si dimostrerebbe che quando 0„ è nullo vi è un sistema di cinque 

 complessi lineari tangenti al complesso A e due a due coniugati rispetto a B. 



L'invariante simultaneo 0^ è suscettibile d'un 'interpretazione analoga. 

 Supponendo ora die le equazioni dei due complessi quadratici siano: 



la^x^—Q ; llnXiX^ = () , 



i i k 



avremo : 



'^a = ^ (hi i'ki — &,/) «» a„ „, a„ „ . 



Osservando ora che la condizione necessaria e sufficiente affinchè il fascio deter- 

 minato dalle sfere i^"" e A;'"" tocchi il complesso II è che sia &,.; 6^^— J'^nzO e tenendo 

 presente il secondo dei lemmi dimostrati, vedremo che è sempre lecito supporre nulli 

 nove dei dieci determinanti analoghi a &,-,■ &«— ^,V Supposte soddisfatte queste relazioni, 

 e supponendo A^ diverso da zero e $^=0, dedurremo che dev'esser nullo anche il 

 rimanente di quei dieci determinanti, cioè il complesso S toccherà tutti dieci i fasci 

 determinati dalle cinque sfere due a due coniugate rispetto ad A. Dunque: L'inva- 

 riante simultaneo $„ col suo annullarsi indica esservi un sistema autoconiugato 

 rispetto ad A e tale che i dieci fasci determinati dalle sfere clic lo costltuiscoiìo 

 toccano il complesso B. 



In modo analogo si dimostra che quando $^ è nullo, vi è un sistema di com- 

 plessi lineari due a due coniugati rispetto a B e le cui dieci congruenze di inter- 

 sezione toccano A. 



Analogamente s'interpreta l'invariante 0^. 



40. Nel caso particolare in cui uno dei due complessi quadratici coincida col 

 complesso dei punti-sfere, gl'invarianti simultanei di cui ora parlammo diventano fun- 

 zioni che godono di proprietà invariantive, rispetto all'altro complesso, per tutte le 

 'trasformazioni lineari del n. 6. 



