DI GINO LOKIA 249 



Così 0„ e 0^ col loro annullarsi annunciano l'esistenza di cinque punti-sfere 

 (lue a due coniugati rispetto al complesso di cinque sfere del complesso due a due 

 ortogonali; invece <!>„ e <I>^ s'annullano se vi è un sistema di cinque sfere a due a 

 due ortogonali e congiunte da fasci tangenti al dato complesso o se vi è un sistema 

 di cinque sfere a due a due tangenti e coniugate rispetto al complesso. 



41. Se si determina (n. 29) l'equazione di condizione a cui deve soddisfare un 

 complesso liueare I^^O per essere tangente al complesso '/.a^j^, + [j.b_,.^.^0 si trova 

 l'equazione: 



siccome questa è di quarto gi-ado in ), : /u. così vi sono quattro comxyJessi quadratici di 

 un fascio, tangenti a un complesso lineare arbitrario. Se si ordina quest'equazione 

 secondo le potenze di X e jU. si trova che i coefficienti di ).'• e ju.'' sono i primi membri 

 delle equazioni dei complessi a^^^^ , 6^.^^ in coordinate di complessi lineari, e 

 queste funzioni sono contravarianti di questi complessi quadratici; i coefficienti delle 

 altre potenze di ), e p. saranno contravarianti simultanei dei due dati complessi, i 

 quali diverranno contravarianti di uno dei due complessi se l'altro coincide con quello 

 de' punti-sfere. 



Dalle altre equazioni date nel n. 30 si deduce esservi in un fascio di com- 

 plessi quadratici tre complessi tangenti a una congruenza lineare e due tangenti a 

 un fascio di sfere; si potranno poi dedurre coli' aiuto delle stesse equazioni del 

 numero 28, e col metodo indicato or ora altre funzioni che meritano il nome di 

 contravarianti. 



42. In un fascio di complessi quadratici vi sono in generale cinque complessi 

 speciali (n. 36) ; essi corrispondono ai valori di "). : p. che soddisfano l'equazione di 

 5° grado: 



(26)... 0=2=h(Àor„ + y.&,.) (Xa,, + a.&J Q.a,, + u.b,,) (la^^+p.bj Q.a,, + p.b,,) , 



essendo al solito «j..^= e 6^^= le equazioni dei due complessi che determinano 

 il fascio. 



Le sfere doppie dei cinque complessi speciali sono determinate, per ognuna delle 

 radici ).: ,(jl dell'equazione (26), dal seguente sistema di equazioni: 



2(ka,, + iJ.b,,)X,^0 , (^=1.2.3.4.5) . 



* 



Ora alle stesse equazioni si giunge risolvendo la questione: 



Determinare , se è possibile , una sfera avente lo stesso complesso polare 

 rispetto a tutti i complessi del fascio : 



l a^^ + mbj.^=^0 . 

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