250 KICERCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECO. 



Infatti, affinchè una sfera X soddisfi alle condizioni imposte, basterà che abbia 

 lo stesso complesso polare rispetto a due qualunque dei complessi del fascio , per 

 esempio rispetto ai due complessi a^^.^ , h-^^^ 0. Ora le coordinate dei complessi 

 polari di X rispetto a questi complessi quadratici sono rispettivamente [v. eq. (11)1: 



la,,X, , lb,,X, (i = 1.2.3.4.5) , 



* II 



e affinchè coincidano si deve avere : 



l(la,, + !J.ba)X, = (i=1.2.3.4.5) . 



Eliminando le X fra queste cinque equazioni lineari omogenee, si ricade nella 

 equazione (26); ai cinque valori di X : /[Jt che soddisfano la (26) corrispondono cinque 

 sfere che coincidono, come si era enunciato, colle sfere doppie dei cinque complessi 

 speciali del fascio , e che hanno lo stesso complesso polare rispetto a tutte le quadriche 

 del fascio. 



Chiamiamo S^ S^ S3 S^ S^ le cinque sfere così ottenute; il complesso C, polare 

 di S, rispetto al fascio, dovendo essere anche complesso polare di S^ rispetto al 

 complesso speciale di cui /S^ è la sfera doppia, dovrà (n. 36) passare per S^; per le 

 stesse ragioni dovrà passare per S3, S^, S^. Dunque potremo dire : 



Se in un fascio di complessi quadratici vi sono cinque complessi quadratici 

 speciali, quattro qualunque delle sfere doppie di questi determinano un complesso 

 lineare che è polare della quinta sfera doppia rispetto a tutti i complessi quadra- 

 tici del fascio. 



Questo sistema di cinque sfere è dunque (n. 26) autoconiugato rispetto ad ognuno 

 dei complessi del fascio, epperò si dirà autoconiugato rispetto al fascio. 



Se, in_ particolare, uno dei complessi quadi-atici del fascio è quello dei punti-sfere, 

 queste cinque sfere sono a due a due ortogonali; esse sono le uniche sfere che siano 

 ortogonali ai loro complessi polari rispetto a uno qualunque dei complessi quadratici del 

 fascio. 



L'ultimo teorema dimostrato suppone però che l'equazione (26) abbia tutte le 

 sue radici distinte; ciò non accade sempre, perchè anzi vi sono casi in cui i cinque 

 complessi quadratici speciali del dato fascio vengono a coincidere in tutto in parte, 

 e cosi vi sono altri casi in cui nel fascio esistono complessi doppiamente speciali o 

 degenerati in due complessi lineari ; a queste diverse particolarità dei complessi speciali 

 del fascio, ne corrispondono altrettante della congruenza di quarto grado ad essi comune ; 

 lo studio delle varie specie di queste è intimamente legato allo studio di quelli, come 

 risulterà ancor meglio da quanto esporremo nel seguente capitolo. 



