DI GINO LORIA 251 



§ -i. La ciclide considerata come luogo de pimli-sfe7^e 

 di Ufi comjìlesso quadratico di sfere. 



43. // luogo dri punti-sfere di un complesso quadratico di sfere è una super- 

 fìcie di quarto ordine avente per linea doppia il cerchio imaginario all'infinito. 



Consideriamo infatti nna rete speciale di sfere costituita da tutte le sfere aventi 

 i centri su una data retta r; r è il luogo dei punti-sfere della rete. Ora una rete 

 ha comuni quattro elementi colla congruenza d'intersezione di due complessi quadratici 

 (n. 17), dunque su r vi saranno quattro punti-sfere di un qualunque complesso di 2" 

 gi"ado; dunque il luogo dei punti-sfere d'un complesso di 2° grado è una superficie 

 di 4° ordine. 



Se invece consideriamo una rete qualunque, il luogo dei suoi punti-sfere è un 

 circolo, e lo stesso ragionamento fatto or ora ci prova che il luogo dei punti-sfere- 

 di un complesso quadratico è secato da un cerchio qualunque in quattro punti. 



Ora, affinchè una superficie di quarto ordine abbia comune con qualunque cir- 

 colo quattro soli punti a distanza finita è necessario e sufficiente che essa abbia per 

 linea doppia il cerchio imaginario all'infinito; dunque la proposizione è dimostrata (*). 



Le superficie di questa specie furono considerate per la prima volta da Dar- 

 boux (**) et Moutard (***) , che le indicarono , il primo col nome di ciclidi , il 

 secondo col nome di Sìtperficie anallagmaticìie di 4° ordine. Noi le daremo la deno- 

 minazione proposta dal Darboux e che è generalmente adottata (****]. 



(*) Collo stesso metodo si dimostrano i teoremi più generali. Il luogo dei punti-sfere di un com- 

 plesso di ordine m è una superficie d^ ordine 2m avente il cerchio imaginario all' infinito per linea 

 m-pla. — Il luogo dei punti-sfere d'una congruenza dell'ordine ra è una curva di ordine 2 m. 



(**) Uomptes rendus de VAcadémie des sciences de Paris., t. LXVII! , pag. 1311. Cf. t. LIX, 

 pag. 241. 



("*) Noie sur la transformation par rayons vecteurs re'eiproques (Nouv. Annales, II serie, t. V, p. 306). 

 Sur les surfaces anallagmatiques du quatrième ordre [Ibid., pag. 536). 

 Cf. Comptes rendus de V Académie des sciences de Paris. T. LIX, pag. 243. 



(****) Dello stesso teorema (fondamentale per le ricerche seguenti) si può dare una dimostrazione 

 analitica che ora esporrò quantunque non sia come quella data nel testo di pura geometria della sfera. 



Avendo precedentemente dimostrato (n. 1t) che le coordinate Xi d'un punto sono proporzionali 

 alle sue potenze rispetto a cinque sfere , il teorema che si tratta di provare può enunciarsi cosi : 

 Se X,- sono i primi membri delle equazioni di cinque sfere ed f una funzione quadratica , l'equazione 

 f ^s, S2 S3 s, x-^ = rappresenta una ciclide. — Invece di dimostrare questa proposizione noi dimo- 

 streremo l'altra che la comprende : 



Se ajj- sono i primi membri delle equazioni di cinque quadriche qualunque passanti per la conica 

 in cui il piano =j- = seca la quadrica Q = l'equazione /"(a;, x^ x. x,^ x^] =.^ d , quadratica nelle xi, 

 rappresenta una superficie di quarto ordine avente per linea doppia quella conica. 



Infatti se aj(0 è una funzione lineare delle coordinate y di un punto, per le ipotesi fatte si potrà 

 porre ; 



e trasformare l'equazione della superficie nella seguente : 



Ora quest'equazione sviluppata secondo le potenze di Q, può scriversi 



ho Q'+!.\Qly-hl:^ly'-=0, 



