252 EICEKCHE INTORNO ALLA GEOMETKU DELLA SFEKA ECC. 



44. Collo stesso ragionamento con cui si dimostrò il teorema del n. iDrec. , si di- 

 mostra la proposizione seguente: 



L'inviluppo dei piani-sfere di un complesso quadratico è u quadrica (*). 



L'equazione di questa quadrica si può ottenere sotto cinque forme diverse in 

 coordinate tetraedriche di piani ; infatti se 



laijXiXj=0 , 

 •J 



è l'equazione del complesso quadratico dato, l'inviluppo dei suoi piani-sfere è rappre- 

 sentato dalle due equazioni: 



1 Uij Xj Xj ^ ; 2 Tj = . 



Eliminando fra queste equazioni successivamente una delle x e rammentando quanto 

 si disse alla fine del n. 12 , vedremo che i risultati ottenuti rappresentano quella 

 stessa quadrica rispetto ai cinque tetraedri determinati dai centri delle cinque sfere 

 /?, S^ S^ S^ S-^ presi quattro a quattro. 



45. Ciò posto consideriamo uno dei complessi semplicemente speciali, che (n. 40) 

 contengono la ciclide ; sia S la sfera doppia di questo complesso e Q in quadi'ica 

 inviluppata dai suoi piani (n. prec). Sia r un piano tangente qualunque di Q; il 

 complesso considerato contiene la sfera (S e il piano r e quindi (u. 34) contiene tutte 

 le sfere del fascio S~. In particolare essa conterrà i due punti-sfere di questo fascio, 

 i quali appartengono alla ciclide. Gli oo^ piani tangenti di Q danno in questo modo 

 gli oo^ punti della superficie. Questa può dunque generarsi in questo modo, mediante 

 la sfera ^ e la quadrica Q; epperò potremo concludere l'importante teorema: 



La ciclide può definirsi come V insieme degli oo'' punti-sfere dei fasci die una 

 sfera fissa (sfera direttrice) determina coi piani tangenti di una quadrica data 

 (quadrica deferente) (**). 



ove hi è una funzione di grado i nelle ;/ ; la forma di quest'equazione mostra subito che la linea 



?j. = , Q = 



è doppia per la superficie rappresentata, dunque ecc. Ogni quadrica passante per la conica doppia 



Q — \y OLy ^(i 



seca la superficie ancora nella quartica gobba di 1' specie 



Q — ?j «j = ; ko '■i/--+- /.', -y-y -1- /ij = . 



(*) In generale : L'inviluppo dei piani-sfere di un complesso di sfere d'ordine m è una superficie 

 di classe va. 



La sviluppabile dei piani-sfere d'una congruenza dell'ordine m è di classe m. 



{'*) Adottiamo le denominazioni introdotte dal Db La. Gournerie nel suo Memoire sur les lignei 

 sphériques (Journal de Mathématiques de M. Liouville, 2" serie, t. XIV, 186y). 



Dal teorema ora dimostrato nel testo si deduce, che la ciclide corrispondente alla sfera : 



a;' -I- j/' -t- r-:= r' , 



i 



