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46. Una consegueaza del teorema ora dimostrato è il seguente: 



Offìii cicìide si ninfa in se stessa se assoggettata ad tma trasformazione per 

 raggi reciproci il cui centro e la cui jìotenza siano rispettivamente il centro e il 

 quadrato del raggio della sfera dojì2'>in di nno dei complessi speciali contenente la 

 ciclide stessa. 



Per dimostrarlo rammentiamo che date due sfere di centri , 0' e raggi r , r', 

 i punti-sfere del loro fascio sono (n. 6, nota) i punti doppi deirinvoluzione determi- 

 nata dalle sfere del fascio sulla linea dei centri, epperò chiamandoli 31, N avremo : 



OM.ON^r\ 



Segue da questa relazione che una trasformazione pei raggi reciproci di centro 

 e potenza >•* muta in se stesse tutte le coppie di punti sfere dei fasci di cui fa parte 

 la sfera dii-ettiice ; donde e dal teorema del n. prec. risulta la proposizione enunciata. 



47. Consideriamo tre punti infinitamente vicini P, F^ P^ della quadrica defe- 

 rente individuanti un piano - ( tangente alla quadrica ). Le sfere S^ S^ Sj di 

 centi'i P, Pj Pj e ortogonali alla sfera direttrice S , determinano una rete di sfere , 

 composta di sfere ortogonali a. - e a.d S cioè passanti pei punti-sfere del fascio Sn. 

 Quindi le sfere S, S^ S^ passano pei punti-sfere A, e A^ del fascio Sri. Ma se consi- 

 deriamo l'inviluppo d'una sfera il cui centro percorre la quadrica deferente ed è orto- 

 gonale alla sfera S, S,, S^, S^, ne sono tre posizioni consecutive ed A,, A^ sono due 

 punti dell'inviluppo. Siccome il luogo dei punti analoghi ad A^ A^ è la ciclide definita 

 dalla sfera -S e dalla quadrica data, cos'i possiamo concludere: 



Una ciclide può considerarsi come l'inviluppo delle oc* sfere i cui centri stanno 

 su una quadrica (quadrica deferente) e che sono ortogonali a una sfera fissa (sfera 

 direttrice). La quadrica è l'inviluppo dei piani di uno dei complessi quadratici 

 speciali che contengono la ciclide; la sfera è la sfera doppia di questo. 



Xel caso più generale la ciclide può generarsi in cinque modi colle leggi espresse 

 nei teoremi di questo numero e del n" 45; in casi speciali particolari queste gene- 

 razioni si modificano, come vedremo nel n. 49. Ma intanto cerchiamo le relazioni 

 esistenti fra i varii modi descrivere una ciclide. Tali relazioni sono espresse dal 

 teorema : 



Le sfere direttrici dei varii modi di generare una, ciclide come inviluppo di 

 una sfera, sono fra loro ortogonali, le quadriche deferenti sono omofocali. 



e alla quadrica rappresentata io coordinate di piani dall'equazione 



ha per equazione in coordinate cartesiane: 



A^^{x'^+ìf^^^-\^ r'^f — i {x''+ y'^ z'^ r^iiA^x -^ A^^y ^ A jj z) -4- 

 ■^ A.^^3?^ A^^ij^+ A^^t'+^A^.^y: ^lA^^sx.^iA,.xy = () . 



