254 RICEKCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



La prima parte di questa proposizione fu già dimostrata (n. 40 al fine); per 

 provare la seconda rammentiamo che le quadriche deferenti sono gl'inviluppi dei piani 

 dei complessi speciali contenenti la ciclide e che questa è il luogo dei punti-sfere di 

 ciascuno dei complessi speciali stessi. Per conseguenza tutte quelle quadriche avranno 

 per piani tangenti comuni , tutti quelli che debbono eziandio annoverarsi fra i punti , 

 cioè i piani tangenti all'assoluto; tali quadriche hanno dunque comune la sviluppabile 

 circoscritta a una di esse e all'assoluto, epperò sono omofocali. 



Sia M un punto d'una quadrica deferente, a cui corrisponda un punto P della 

 ciclide posto sull'assoluto; sia [x il piano tangente in M alla deferente, il centro 

 della corrispondente sfera direttrice. In generale il piano p. e la retta OP sono orto- 

 gonali (cioè coniugati rispetto all'assoluto) ; nel caso nostro siccome F sta sull'asso- 

 luto, p. sarà ad esso tangente ; d'altronde MP è in generale normale in P alla ciclide, 

 quindi nel caso in discorso p. sarà (perpendicolare in P alla normale in P cioè) tan- 

 gente alla ciclide in P. Si vede quindi che ognuno dei piani tangente alla ciclide in 

 punti all'infinito, tocca anche ognuna delle quadriche deferenti, e che, per conseguenza 

 la sviluppabile formata da quelli coincide colla sviluppabile in cui sono inscritte queste. 

 Ciò permette di concludere : 



La sviluppabile formata dai piani tangenti alla ciclide nei suoi punti all'in- 

 finito è di quarta classe. 



48. Consideriamo la ciclide come generata nel modo indicato al n. prec. Tutte 

 le sfere generatrici sono bitangenti alla superfìcie (cioè la secano in due cerchii) hanno 

 i loro centri sulla quadrica deferente Q e sono ortogonali alla sfera fìssa S. Prendiamo 

 in particolare un punto all'infinito J di () e il corrispondente piano tangente v. ; la 

 sfera generatrice di centro I riducesi (al piano all'infinito e) al piano X condotto dal 

 centro di S alla retta che segna la direzione in cui I è andato all'infinito. Tutti i piani 

 analoghi a A inviluppano un cono quadrico supplementare del cono assintoto ài Q & sono 

 piani bitangenti della ciclide. Nel caso più generale vi sono cinque coni analoghi a 

 questo; essi si sogliono chiamare (da uno de" suoi scopritori (*) ) coni di Kunimer 

 e costituiscono la completa sviluppabile bitangente della superficie. 



Le curve d'intersezione di ogni sfera direttrice colla corrispondente quadrica de- 

 ferente sono quartiche sferiche di prima specie, le quali chiameremo (con Darboux) 

 cicliclie, e sono ciascuna il luogo di punti-sfere bitangenti alla superficie, cioè sono 

 curve focali della superficie. 



Per dimostrare che non vi sono altre curve focali si può far uso della genera- 

 zione della ciclide esposta al n. prec. Da essa infatti risulta che afiìnchè un cerchio 

 di raggio nullo sia bitangente alla ciclide è necessario e sufficiente che il suo centro 

 cada in una sfera direttrice e nella corrispondente quadrica deferente; ora, per ciò 

 che precede, le sfere direttrici sono le sfere doppie dei complessi quadratici speciali 



(■) Zeuthe.n fece notare nella prefazione alla sua memoria Om Flader of fjerde orden med Duh- 

 belheglesnit ( Kopeiihaghen, 1879) che tali coni furono scoperti conterapoi'aneanienle da Kummer e da 

 MouTARD, perchè la memoria di questo pubblicata nelle Nouvelles Annales del 1804 è indipendente dalla 

 comunicazione fatta da quello all'Accademia delle scienze di Berlino il 16 Luglio dello stesso anno. 



