DI GINO LORIA 255 



contenuti nel fascio di cui è sostegno la data ciclide e le quadriche deferenti sono 

 gl'inviluppi dei piani-sfere dei detti complessi speciali, dunque in generale le cicliche 

 "ià determinate sono le uniche curve focali. 



Concludiamo pertanto la ciclide più generale ha cinque cicliche focali. 



Siccome i coni di Kummer sono supplementari dei coni assintoti delle quadriche 

 deferenti i quali sono (come le quadriche stesse) omofocali, così essi sono omociclici, 

 cioè hanno comuni quattro punti sull'assoluto. Questi sono punti cuspidali della 

 superficie ; dunque : 



La ciclide ha in generale quattro punti cuspidali sulla sua curva doppia {*). 



49. Facciamo ora un cenno delle modificazioni che subiscono i teoremi prece- 

 denti in alcuni casi particolari. 



a) Quando due delle sfere direttrici vengono a coincidere in un punto-sfera P, 

 tutti i fasci di sfere che P determina coi piani tangenti della quadrica deferente, 

 hanno per punti-sfere Pei suoi simmetrici rispetto ai piani tangenti di questa ; 

 epperò la ciclide è in questo caso omotetica rispetto a P della podaria di questo 

 punto rispetto alla quadrica deferente, ed ha P per punto singolare. 



Le altre tre sfere direttrici passano per P e sono a due a due ortogonali; le 

 comspondenti quadriche deferenti passano per P; ognuna tocca in P la sfera di- 

 rettrice, che le è compagna. Donde segue che tre delle cicliche focali hanno in P un 

 punto singolare. 



In questo caso si hanno tre coni di Kummer generali e uno di specie particolare 

 avente il suo centro in P. Per riconoscere quale particolarità presenta quest'ultimo 

 consideriamo un suo piano tangente qualunque ?; esso tocca la ciclide in due punti, 

 onde la ciclica piana (quartica piana avente per punti doppii i punti ciclici) si scinde 

 in due cerchi! ; ma di più , siccome ogni piano per P seca la ciclide in una curva 

 che ha un punto doppio in P , o uno di questi cerchi! si scinde in due rette in- 

 crociate in P , il che trarrebbe seco l'esistenza sulla superficie di infinite rette uscenti 

 da P , ciò che non accade , perchè in generale la superficie non degenera ; ovvero 

 ogni piano r dovrà secare la superficie in due cerchi aventi in P un punto comune. 

 n cono considerato ha dunque per piani tangenti , piani òhe toccano effettivamente 

 una sola volta la superficie , epperò il cono speciale considerato non è effettiva- 

 mente inviluppato da piani bitangenti ; lo diremo cono straordinario. 



b) Quando la ciclide è contenuta in un complesso di sfere doppiamente 

 speciale (n. 37), V inviluppo dei piani-sfere di questo è una conica. Infatti un 

 complesso quadratico doppiamente speciale contiene una schiera di <ya reti , ognuna 

 delle quali contiene un fascio di piani-sfere; gli oo' piani del complesso di 2° grado 

 sono dunque distribuiti una sola volta in co fasci , donde segue che il loro inviluppo 

 si riduce a una conica. 



(") Dasbods, 1. c, pag. 111. 



