256 RICERCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



In questo caso si ottiene una generazione assai semplice della superficie , colla 

 considerazione seguente. La supei'ficie è , nel caso in discorso , il luogo dei punti- 

 sfere di co reti di sfere aventi un fascio comune (il fascio di sfere doppie del com- 

 plesso doppiamente speciale) cioè il luogo di oo cerchii. Tutti questi cerchii hanno 

 comuni due punti (i punti-sfere del fascio di sfere doppie) che saranno doppii per 

 la supei-ficie ; i loro piani faranno fascio attorno alla congiungente di questi. Ma 

 d'altronde i loro piani devono essere perpendicolari al piano della conica (fissa che 

 per analogia diremo) deferente e i loro centri stare su questo , dunque quei due 

 punti-sfere devono essere simmetrici rispetto al piano della conica deferente. Donde 

 la seguente generazione : 



Data una conica F in un piano - e due punti A, , A^ simmetrici rispetto 

 a n, si trovi la podaria li di T relativa al punto "^ in cui la retta A, A^ seca t:: 

 il luogo dei cerchii aventi i centri in II e passanti per A, e A^ è una ciclide 

 avente A, e A^ per punti doppii. 



È evidente che in questo caso la ciclide può riguardarsi anche come generata 

 da una sfera il cui centro percorre la conica deferente e che è ortogonale a una sfera 

 qualunque del fascio determinato dai suoi due punti doppii. 



Le altre tre sfere direttrici passano per J., e A^e sono a due a due ortogonali ; 

 le tre quadriche deferenti hanno per conica focale la conica deferente e toccano in yl, 

 e A^ le con-ispondenti sfere direttrici , epperò tre delle cicliche focali sono ridotte a 

 coppie di cerchii. I punti in cui la conica deferente seca il cerchio-base del fascio di 

 cui A, e A^ sono punti-sfere (carchio che sta sul piano della conica perchè A, . A^ 

 sono simmetrici rispetto a questo) sono fuochi della ciclide nel senso che da essi 

 partono coni che toccano la ciclide lungo tutta una conica e sono circoscritti all'as- 

 soluto. 



Alle tre sfere direttrici di cui ora si è parlato corrispondono tre coni di Kum- 

 mer; quanto agli altri due essi vengono sostituiti da due piani tangenti singolari, da 

 due piani , cioè , ognuno dei quali che tocca la superficie secondo un cerchio ; essi 

 sono i piani condotti dalla retta A^ A^ perpendicolarmente agli assintoti della conica 

 deferente : ciò risulta dal modo con cui la generazione della ciclide si modifica nel 

 caso particolare di cui trattiamo (*). 



(') Si può confermare qiieslo risultalo direttamente nel seguente modo: 



Sia ^+rl=' 



la conica deferente, e 



{x — (z)- -t- ;j/ — p)* = p- 



l'equazione del cerchio base del fascio al quale sono ortogonali le sfere generatrici della superficis- 

 Le coordinate del centro d'una qualunque sfera generatrice sono : 



a cos s, b sen y 



epperò l'equazione d'una sfera generatrice qualunque è: 



(I) (z — x) a cos f -^ [? — y) b sen o .= — ;, — 



avendo posto per brevità 



