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c) Se due coppie di sfere Tengono a coincidere in punti-sfere come in a) le par- 

 ticolarità esposte si ripetono per ciascuna coppia ; così se la ciclide è contenuta in due 

 complessi di sfere doppiamente speciali, per ognuno di questi si verifica quanto si 

 disse in h) ; notiamo finalmente che per ciò che concerne i piani tangenti singolari , ciò 

 che si disse in h) è sempre vero anche se i punti doppii A, e A^ coincidono in un 

 punto (che è biplanare per la superficie). 



50. Un'altra proprietà importante della superficie che studiamo è espressa dal 

 teorema : 



Una cìcìide generale contiene sedici rette. 



Per dimostrarlo consideriamo due sezioni piane qualunque S, S^ della superficie 

 e chiamiamo C il cerchio imaginario all'infinito. La rigata costituita dalle rette ap- 

 poggiate & S,, S^, C h m gi-ado 2. 2. 4. 4^4'; volendo considerare solo le rette 

 appoggiate in punti distinti alle tre curve bisognerà escludere : 



a) 1 quattro coni quadrici che proiettano C dai punti comuni ù, S, e S^\ 



b) I quattro coni quartici che proiettano S,, S^ risp. dai punti all'infinito 

 di S^, S, contati due volte ciascuno, e rimarrà una rigata JR di 24° grado, per la 

 quale C, S,, S^ saranno multiple risp. secondo 12, 4, 4. 



Una terza sezione piana S^ della ciclide seca R in 4. 24 punti; di questi 2 . 12 

 sono assorbiti dai punti all'infinito di S^, 4.4 dalle intersezioni di S^ e S,, e 4.4 

 dalle intersezioni di ^'3 e S^. Per ognuno dei rimanenti 16 punti d'intersezione di i? 

 con /S'3 passa una retta appoggiata a C , S^, S^, S^; ciascuna di queste ha comuni 

 cinque punti colla ciclide quindi giace su di essa. Ora siccome ogni retta della ciclide 

 deve incontrare ogni sua sezione piana, cos'i è evidente che il metodo indicato deve 

 porgere tutte le rette esistenti sulla superficie, opperò il teorema enunciato resta di- 

 mostrato. 



L'equazione della ciclide si avrà eliminando s fra la (1) e la sua derivata rispetto a o: 



(IIj (,3 — y) b CCS o — {■X — X] a sen y = . 



Dalle (I) (II) segue: 



donde si ha finalmente l'equazione della superficie sotto la forma : 



(HI) 4 ) a^ ;!t — x)--h b' 'Ji — y)2 j = } «--H f~ pS_ (a;'-|- yì^ zi j )' 



Quest'equazione ci prova che i due piani 



a (a — a;) ± i 6 (j3 — ?/) = 

 toccano la superficie lungo i cerchii in cui essi secano la sfera 



a;' ->- 2/^ + 2^ ^ a' -*- j3' — p' 



Dunque la ciclide con due punti doppii ha due piani tangenti singolari ; essi sono i piani condotti 

 per la congiungente i punti doppii perpendicolarmente agli asintoti della conica deferente. Le coniche 

 di contatto sono le interseshni di questi piani colla sfera concentrica alla, conica deferente e ortogo- 

 nale alle sfere del fascio dato. 



Tutto ciò sussiste anche quando sia p = 0. 



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