260 RICERCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



Scambiando fra loro i due complessi dati si otterrebbe un quarto complesso 

 quadratico C^^ luogo delle sfere polari, rispetto ad A, dei complessi lineari tan- 

 genti a 5 inviluppo dei complessi polari , rispetto ad A , delle sfere di J3. 



52. Consideriamo il sistema autoconiugato comune ad A e JB ; ne siano S,, S^ 

 due sfere qualunque e C, , C^ì corrispondenti complessi polari. Nel fascio di sfere S^ S^ 

 tì sono due sfere A^, A^ appartenenti al complesso A e formanti con S^ , S^ un fascio 

 armonico ; ad essi corrispondono due complessi lineari polari rispetto a £ che cMa- 

 meremo K^, K^ . Siccome *?, , S^, A^, A^ formano un gruppo armonico , così lo 

 stesso accadrà di C, , C^, K^ , K^\ K, e K^ sono dunque coniugati armonici ri- 

 spetto a C, , C^ , onde C, , C^ sono coniugati rispetto a C 4 g . Ciò significa che due 

 complessi qualunque del sistema autoconiugato comune ad J. e J? sono pure coniugati 

 rispetto a C_4 ^ ; dunque : 



U sistema autoconiugato comune rispetto a due complessi quadratici, gode della 

 stessa proprietà rispetto a ciascuno dei due complessi polari di uno dei dati 

 complessi rispetto alValtro. 



Questa proprietà si verifica assai facilmente in altro modo quando i due com- 

 plessi dati ammettano un sistema autoconiugato comune composto di cinque sfere ; 

 allora le loro equazioni possono porsi sotto la forma : 



2aiX,^:=0 , J, 6;a;,^ = , 



i i 



e i due complessi C^^ e C g^ avi'anno in conseguenza per equazioni: 



Vk''='' i:^'=». 



epperò avranno per sistema autoconiugato comune quello che è comune ad A , B. 



Quando il complesso lì coincida col complesso i?^^. = dei punti-sfere , le 

 equazioni (26), (27), si trasformano in altre che rappresenteranno in due modi il 

 luogo delle sfere ortogonali dei complessi tangenti del complesso A o l'inviluppo 

 dei complessi lineari aventi per sfere ortogonali quelle del complesso A. Chiameremo 

 questo nuovo complesso il complesso ortogonale di A. 



53. Sia un fascio di complessi quadratici rappi-esentato dall'equazione : 



ik 



i complessi polari di questi rispetto al complesso 



ik 



