DI GINO 1-ORU 



costituiranno una serie semplicemente infinita la cui equazione è: 



261 



(28) 





Xa,5 + fA&,5 Ih,iXi 



i 



i 



Xa55+/J.&55 lb-,iXi 

 i 



lb.-,x,- 



Quanti complessi di questa serie passano per una sfera arbitraria x? A ciò si ri- 

 sponde Tacilmente notando, che quando son date le x la (28) si trasforma in un'equa- 

 zione che può servire a determinare i parametri X 1 p. che spettano ai complessi cer- 

 cati ; e siccome quest'equazione è di 4° grado , così : 



Per qualunque sfera dello spazio passano in generale quattro complessi della 

 serie (28). 



Questo numero quattro diminuisce in certi casi che è facile determinare colle 

 seguenti osservazioni. Se noi sviluppiamo la (28) secondo i prodotti degli elementi 

 dell'ultima orizzontale e dell'ultima verticale, otterremo una funzione quadratica 

 omogenea di questi elementi i cui coefficienti sono i subdeterminanti di quarto 

 ordine del determinante della forma quadratica X a-^ ,. + p. 6^^, . Se vi è un valore 

 di ), : jU che annulla tutti questi subdeterminanti, la (23) sarà soddisfatta da questo 

 valore qualunque sia li sfera x, e quindi per questa non passeranno ancora più di 

 tre complessi della schiera ; cosi se vi è un valore di X '. p. che sia radice doppia di 

 tutti i subdeterminanti di primo ordine del determinante di X a^^,-\- y. b-^^ , per una 

 sfera arbitraria dello spazio passeranno due complessi della schiera. Lo stesso ragio- 

 namento può applicarsi in ogni altro caso e serve ad assegnare esattamente il grado 

 della serie (28). 



Tutti i complessi della schiera hanno comuni oo^ complessi tangenti; quelli, 

 cioè, che sono polari rispetto a 



'^'bikXiX^ = , 



delle sfere appartenenti alla congruenza : 



lai^XiXi=^0 , Ibi^XiXii = ; 

 a i k 



in altre parole tutti i complessi della schiera (23) sono toccati dai piani tangenti a B 

 nelle sfere della congi-uenza di sua intersezione con A. Ciò prova anche che il com- 

 plesso B h. parte sia del fascio , sia della schiera. Lo stesso fatto risulta da ciò che 

 se si fa nella (28) X=zO si ottiene: 



