DI GINO LORIA 263 



tì sono quatti'o complessi tangenti a un complesso lineare arbitrario: 



(n. 39). Siano X' :,a', 1" : p." i valori di ). '. [j. che corrispondono a due di essi e 

 cercliiamo le corrispondenti sfere di contatto. Esse saranno date dalle equazioni : 



(«) 2 (X' «,,. + ,a' ò,,) .r,' = ^,. ; i: (X" a^, + /V bj,) x," -^'S,. (p). 



i I 



Di piii siccome .r' sta sui due complessi ^^'^^ ^> ^' <^'xa+ 1^' ^j.a- = , e x" sta sui 

 complessi S^=0, X"rt^j^. + fjt"ò„.= awerno le equazioni: 



(7) l.'=o ; ^.- = (^)- 



(0 ">' «a'.' + F'' ^x^x" = ; X" a^„^„ + p." h^„^„— (®). 



Moltiplicando la (a) per x"j e sommando le cinque equazioni analoghe che si 

 ottengono per j=l . 2. 3. 4. 5 , e tenendo conto della (o) avremo: 



Analogamente dalle (p) (y) risulta: 



Queste ci dicono che le sfere x , x" sono coniugate rispetto a due dei complessi 

 del fascio , esse lo saranno per conseguenza rispetto a tutti , epperò potremo concludere : 



Le sfere di contatto di un complesso lineare qualunque coi quattro complessi 

 quadratici di un fascio, sono a due a due coniugate rispetto a tutti i complessi del 

 fascio stesso. Se quindi cerchiamo la sfera coniugata del dato complesso lineare ri- 

 spetto a uno assegnato dei complessi del fascio, otterremo una sfera che con quelle 

 quattro forma un sistema autoconiugato rispetto al complesso quadratico scelto. 



XeUo stesso modo si dimostra la seguente proposizione (correlativa alla pre- 

 cedente ) : 



I complessi lineari tangenti in una sfera qualunque S ai quattro complessi 

 quadratici della schiera (28) passanti per essa sono a due a due coniugati rispetto 

 a tutu i complessi quadratici della schiera; il complesso polare di S rispetto a 

 uno qualunque dei complessi della schiera , f orina con quelli un sistema auto- 

 coniugato rispetto a questo complesso scelto. 



56. n caso particolare più interessante di questa ricerca si ha quando il com- 

 plesso J? coincide col complesso (i?) dei punti-sfere. 



In questo caso la schiera (28) si muta neirinsieme degli infiniti complessi orto- 

 gonali (n. 52) dei complessi che determinano con R una medesima ciclide; essa è invi- 

 luppata dagli oG^ complessi lineari (speciali) le cui sfere ortogonali si riducono ai punti 

 della ciclide. Per una sfera qualunque passano quattro complessi della schiera, ma 

 per un punto sfera ne passano soltanto tre. Le sfere ortogonali dei quattro complessi 



