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EICERCHE INTOKNO ALLA GEOMETKL\ DELLA SFERA ECC. 



lineari tangenti in una data sfera ai quattro complessi quadratici della schiera passanti 

 per essa , costituiscono con questa un sistema di cinque sfere a due a due ortogonali ; 

 se la sfera scelta è un punto-sfera., le sfere ortogonali dei tre coìiqìiessi lineari 

 tangenti in esso ai tre complessi quadratici della schiera passano per esso e sono 

 a due a due ortogonali. Tutti i complessi quadratici della schiera hanno per sistema 

 autoconiugato comune quello del complesso a^^. =r e del complesso dei punti sfere. 

 Questa schiera di complessi quadratici determina col complesso dei punti un im- 

 portante sistema di ciclidi , che si chiama sistema di ciclidi omofocali. Da una pro- 

 prietà enunciata or ora ( die abbiamo sottosegnato per la sua importanza ) e dal 

 teorema : « La sfera ortogonale del complesso polare di un punto-sfera rispetto a un 

 complesso quadratico, tocca in esso punto la corrispondente ciclide (*) », risulta che: 



Per ogni punto dello spazio passano tre ciclidi di un sistema di ciclidi omo- 

 focali, le (piali si secano ad angolo retto. 



Le ciclidi omofocali costituiscono per conseguenza un sistema triplo di superfìcie 

 ortogonali (**) onde , in virtù del celebre teorema di Dupin (***) , esse si secano 

 nelle loro linee di curvatura. 



57. Siccome per ogni sfera dello spazio passano in generale quattro complessi 

 di 2° grado della schiera, così lo stesso accadrà per un piano; ma se si prende il 

 piano all'infinito, siccome esso deve eziandio annoverarsi fra i punti (n. 19), così il 

 numero dei complessi della schiera passanti per esso è minore di un'unità del numero 

 che si avrebbe se il piano fosse qualunque. Ognuno dei complessi che così si otten- 

 gono determina col complesso dei punti-sfere, ciclidi contenenti il piano all'infinito, 

 le quali , cioè , si scindono nel piano all'infinito e in una superfìcie di 3° ordine pas- 

 sante per l'assoluto. Dunque: 



In una schiera di ciclidi omofocali sono contenute tante ciclidi di 3" ordine 

 quante sono le ciclidi del sistema stesso che passano per un punto arbitrario. 



Per determinare i valori del parametro ), : /7. che ad esse corrispondono , serve 

 l'equazione (28) in cui si supponga essere le x le coordinate del piano all'infinito. Dun- 

 que, per l'equazione (4) del n. 19, l'equazione che serve a ti'ovare le superficie di 

 terz 'ordine della schiera, è la seguente: 



(29)... = 



la^^ + p.R^, 1 a,, + y. i?,, 

 1 1 



).a,3 + f;.J?,3 1 



Xa,3-|-p.E,5 1 



Xa55-|-^.J?53 1 



1 



(*) V. la sua (iimosti'azione nella Memoria del Rete, che fa parte della Colleclanea mathematica, ^.2rii. 

 {*') Lo si potrebbe diraostrare altrimenti , ricorrendo alla regola esposta alla fioe del n. 1(3 per 

 riconoscere l'ortogonalità di due superfìcie. 



(***) DupiN, Déoeloppements de Geometrie. Paris, 1813, pag. 364. 



