2G6 RICERCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



69. Analogamente si dimostra: 



Se nel fascio (30) vi è un complesso doppiamente speciale, ad esso corrisponde 

 nella schiera una serie quadratica di sfere ortogonali a una sfera e i cui centri 

 stanno su una conica ; i suoi punti-sfere sono fuochi della ciclide (nel senso dichia- 

 rato al n. 49, 6)). La ciclide corrispondente della schiera di ciclidi omofocali è 

 indeterminata. 



CAPITOLO TERZO. 

 Classificazione delle Ciclidi. 



1. Metodo di classi ficazioìie. 



60. Noi abbiamo definito (n. 43) la ciclide come luogo dei punti-sfere di un 

 complesso quadratico di sfere, onde essa appare come l'intersezione di due quadriche 

 a tre dimensioni in uno spazio lineare a quattro. Per ottenere e caratterizzare le 

 varietà della ciclide il primo metodo che si presenta è il ridurre le sue equazioni 

 alla loro forma più semplice e studiare su queste la superficie. 



Ora è noto che non sempre è possibile ridurre due forme quadratiche ciascuna 

 a una somma di quadrati , ma che in ogni caso si possono ottenere delle forme semplici 

 caratteristiche pei varii casi e che possono dirsi canoniche. Qualunque sia il numero 

 delle variabili per assegnare i varii casi che si debbono considerare e le corrispon- 

 denti forme canoniche si ha un metodo semplice dovuto a Weierstrass (*) e che noi 

 esporremo nel numero seguente pel caso di cinque variabili, che è quello che ci 

 interessa. 



Ma intanto notiamo che le varie specie di superficie che si otterranno con questo 

 metodo saranno fra loro distinte nello spazio di sfere, cioè non potranno dedursi 

 l'una dall'altra mediante trasformazioni dello spazio di sfere che lasciano immutata la 

 quadrica dei punti. In altri termini, il metodo indicato dà tutte le ciclidi, che non 

 possono mutarsi l'una nell'altra colle trasformazioni indicate alla fine del n. 6 , cioè 

 mediante le trasformazioni dell'ordinaria geometria metrica e la trasformazione per 

 raggi reciproci (**). 



Di più un teorema di Weierstrass , che enunceremo fra poco , ci assicura che 

 in questo modo non s'incontrerà mai due volte la stessa superficie. 



(*) Zur Theorie der hilinearcn und quadratischen Formen (Monatsberiohte der Berliner Aliaderaie 

 der Wissenschaften, 1868, Mai 18). 



(**) In particolare si possono otteaere, mediante couveaienti trasformazioni per raggi reeiproci , 

 le varie superficie di quarto ordice aventi per linea cuspidale l'assoluto. 



Del l'esto queste si possono anche dedurre da quelle che noi incontreremo, facendo delle con- 

 venienti ipotesi particolari sulle costanti delle loro equazioni. 



