268 RICERCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



L'espressione 



e 



si cMama divisore elementare (Elementar-Theiler) del determinante [^^]- 



Ciò posto si può con una stessa trasformazione lineare ridurre A e B alle due 

 seguenti forme canoniche: 



A = l[a, (X, X, ) - li {X, X,), _ 1 ] , 



5^ A X 



:B = 2[&,(X,XJ +5r(A\X,) J , 



ayendo posto in generale: 



(X,X,). = 2X,,X,. , 



(n + v = e — i) 



e intendendo che sia: 



(X,X,)„ = ; 



le costanti a^, è^, ... soddisfano le equazioni: 



ga-, + li\=l , 



mentre g, h sono numeri interi qualunque. 



Il significato dei divisori elementari è dato dal seguente importantissimo Teorema 

 di Weierstrass : Afiincliè si possa con una medesima trasformazione lineare mutare una 

 data coppia di forme quadratiche in un' altra coppia di forme quadratiche , pure 

 data, è necessario e sufficiente che i determinanti formati, nel modo indicato, coi 

 coefficienti delle due coppie di forme coincidano nei loro divisori elementari (*). 



62. Segue da quanto ora si disse che ad ogni distribuzione dei divisori ele- 

 mentari del determinante [A, B] corrisponde una specie di coppia di forme quadratiche, 

 e viceversa. Per ottenerle tutte, bisognerà piima di tutto determinare le soluzioni 

 intere dell'equazione indeterminata • 



si trova facilmente che questa ammette le sette soluzioni seguenti: 



11111 

 2 111 



2 2 1 



3 11 



3 2 



4 1 

 5. 



(*) Un teorema analogo ha luogo per le forme bilineari. 



