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Poi bisogna considerare i casi in cui vengono a coincidei'e dei divisori elemen- 

 tari appartenenti a radici diverse del determinante dato [A, S]; seguendo la nota- 

 zione proposta dal Weiler nel suo studio sulla classificazione dei complessi quadratici 

 di rette (*) poiTemo fra parentesi ( ) i numeri indicanti l'ordine di molteplicità dei 

 divisori elementari appartenenti alla stessa radice. Allora dalle soluzioni ora trovate 

 deduiTemo il seguente prospetto dei casi da considerare : 



[Hill], [(11)111], [(ii)(ii)i], [(111)11], [(iii)(ii), [(ini)i] 



[2111], [(21)11], [21(11)], [(21)(11)], [(2111)1], [2(111)], [(2111)] 

 [221], [2(21)], [(22(1)], [(221)] 

 [311], [(31)1], [3(11)], [(311)] 

 [32] , [(32)] 



[^1]. [(^1)] 



[5]- 



Abbiamo cosi ventisei specie diverse delle superficie che studiamo; vedremo che 

 in otto dei casi da considerare, la superficie degenera in due sfere (distinte o coin- 

 cidenti proprie o degenerate). Escludendo queste superficie degeneri e applicando il 

 teorema di Weierstrass enunciato al numero precedente potremo dire : 



Vi sono dieciotto specie di cicUdi ; ogni superficie dell'una specie non si può 

 trasformare per raggi reciproci in altra di specie diversa. 



63. Le particolarità distintive delle varie specie esigono lo studio particolare 

 delle fonne canoniche sotto le quali si possono porre le equazioni delle diverse specie 

 di ciclidi; gli è a questa ricerca che è dedicato il presente capitolo, ma prima d'in- 

 traprenderla sarà utile il dire come si trovino i punti doppi della superficie di cui 

 sono date le equazioni in coordinate a;,- e l'enumerare le varie specie di curve piane 

 che si possono ottenere secando la ciclide con un piano. 



Per determinare i punti doppi della superficie si combinino linearmente le equa- 

 zioni della superficie per modo da ottenerne una terza equazione contenente solo più 

 quattro delle variabili x^ (od un numero minore, se è possibile) ; questa sarà sufficiente 

 a determinare la superficie; si cerchi allora se è possibile trovare un punto (x, y , z), 

 le cui coordinate soddisfino all'equazione della superficie (**) e annullino le derivate del 

 suo primo membro rispetto ad x, y, z. Ora si vede facilmente che un tal punto deve 

 verificare le quattro equazioni ottenute aimullando le derivate rispetto alle a;;, di una, 

 almeno, fra le equazioni fra quattro di queste coordinate, ottenute come si disse ; in 

 particolare se vi è un punto i^el quale si annullano tutte quattro quelle coordinate Xi , 

 esso sarà certo un punto doppio della ciclide. 



(*) Veher die verschiedenen Gattungen der Complexe zweiten Grades (Math. Annalen, Bd. VII, 

 pag. 150 e seg). 



(*•) Si rammenti che, a cagione del significato delle xi (n. 11), si può nell'equazione ottenuta della 

 superficie, sostituire alle xi i primi membri di quattro sfere, la cui posizione reciproca è determinata 

 dalla equazione, supposta data, del complesso dei punti-sfere (n.7}. 



