272 RICERCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



Ora, combinando linearmente le due equazioni (1), si ottiene un'equazione della 

 forma : 



essendo Ip l^ 1,. i, costanti che si determinano facilmente e p, q, r, s una combinazione 

 quaternaria dei numeri 1.2.3.4.5. 



I punti doppii della superficie dovranno (cfr. n. 64) verificare le quattro equa- 

 zioni : 



Xp — 0, x^ = , x^ — 0, x, — 0; 



ora, in causa del significato delle coordinate x^ d"un punto, queste rappresentano in 

 coordinate cartesiane quattro sfere a due a due ortogonali, che quindi non hanno 

 alcun punto comune fuori dell'assoluto ; donde segue che la superficie non ha punti 

 doppii oltre a quelli del cerchio imaginario all'infinito. 



La superficie che consideriamo è dunque la ciclide più generale; è ad essa che 

 fu finora rivolta principalmente l'attenzione dei- geometri. Le sue proprietà principali 

 si deducono da ciò che si disse nel § 3 del Capitolo secondo e sono le seguenti: 



La ciclide [11111] 23iiò considerarsi in cinque modi diversi come l'inviluppo 

 di una sfera il cui centro percorre una quadrica (deferente) e che si mantiene 

 ortogonale a ima sfera fissa (direttrice) ; le sfere direttrici sono le S, S, S3 S^ S5 

 a due a due ortogonali ; le quadriche deferenti sono omo focali e le loro equazioni 

 tangenziali si possono porre sotto la forma (v. n. 44) 



(3) . . ■. . . (?, - ?,) x; + (?„ - h) x; + (?, - /,) ^;+ [h - /,) *•; = o , 



essendo p , q , r , s , t i numeri 1 , 2 , 3 , 4 , 5 j}resi in un certo ordine. Ogni 

 sfera direttrice seca la corrispondente quadrica deferente in una curva focale che 

 è una ciclica sferica generale. La ciclide si muta in se stessa mediante mia tra- 

 sformazione per raggi reciproci il cui centro e la cui potenza siano il centro e il 

 quadrato del raggio d'una sfera direttrice. 



I piani hitangenti della superficie inviluppano cinque coni quadrici (coni di 

 Kummer) concentrici alle sfere direttrici e supplemetitari dei coni asintoti delle 

 corrispondenti quadriche deferenti. 



Infine la ciclide contiene 16 rette. 



67. Siccome con una conveniente trasformazione per raggi vettori reciproci 

 si può dedurre da una superficie generale di terzo ordine contenente l'assoluto la 

 ciclide più generale (*) , e siccome le sedici rette della superficie cubica che incon- 



(♦) Darboux, Sur une classe de courbes et de surfaces algébriques, etc, pag. 165. 



Cremona, Sulla superficie di quarto ordine dotata di una conica doppia (Rendiconti Jel R. Istituto 

 Lombardo, serie li, voi. IV, pag. 140). 



Il teorema enunciato risulta p. e. facendo uso delle forraole che servono alla trasformazione per 

 raggi vettori reciproci, e notando che una superficie cubica di detta specie ha sempre un'equazione 

 della forma : 



Q — [Ix -\-mij + ni)^x^ + ì/'h- j=)-+- ct„a;'-(- a,, i/+ a,^ j^-t- a„-v- 'ìa^^i/t + 2 o,^ x ■+- 

 -ì-2a^^2x + 2a^,lj-h2a„xy + 2n^,t . 



