DI GINO LOKIA 275 



69. Passiamo ora alle superficie le cui equazioni si ottengono dalle (1) facendo 

 coincidere due o più radici del determinante [A, E]. 



Il primo caso che si presenta è quello avente per simbolo [(11)111]. Combinando 

 conTenientemente le due equazioni della superficie , si può ottenere per rappresentarla 

 l'unica equazione: 



ove le ?, /j ?3 sono costanti di facile determinazione e le 



x, = , x^ = , x, — 0, 



sono tre sfere a due a due ortogonali; questa equazione è unica e caratteristica per 

 la superficie che consideriamo. 



La superficie ha per punti doppii quelli comuni alle tre sfere ora considerate ; 

 per riconoscere di quale specie siano questi punti doppii, prendiamo, come è lecito: 



x,^x^+ì/+z'' — 2ax, X:^^x^-\-ti'-\-z'—2hy, Xi^=^x^\f-\-i—2cz, 



e allora l'equazione della superficie in coordinate cartesiane è: 



(?.+ ?. + h) {3^^+ y" + z^X- 4 (x- + 2/^ + ^>) (a Z. X + 6 ?, 2/ + e ^3 z) 



(5) 



+ 4 (a" ?, a;'+ &' ?, if + c^ \ z^) = 



Questa ci prova che l'origine è un punto doppio conico della superficie: siccome 

 l'origine è uno dei pimti comuni alle sfere a;, ^0, a^^rziO, a;3=: e ciò che si disse 

 per l'uno può ripetersi per l'altro, cosi potremo concludere che nel caso [(11)111] 

 la ciclide ha due punti dop;pii conici. 



Pel punto doppio considerato (e ciò che si dice per l'uno vale anche per l'altro) 

 passano sei rette notev.oli (raggi nodali (*) ) ; esse sono le intersezioni del cono nodale : 



a'l,x^ + Vl,y' + cH,z' = Q 



col piano a l^x +6 l.,y +c ?3^==0 



e col cono x"^ -\- y^ -\- z^ ^ Q . 



Queste ultime quattro hanno più di quattro punti comuni colla superficie, epperò 

 stanno su essa ; dunque per ogni punto doppio passano quattro rette della superficie 

 (cfr. n. 50). Sulla superficie non vi sono altre rette; in ognuna delle otto ora con- 

 siderate vennero a coincidere due di quelle che si avevano nel caso generale (cfr. n. 50). 

 La cougiungente i punti doppii non appartiene alla superficie, ogni ^iano condotto 

 per essa (non è un piano bitangente ma) seca la superficie in due cerchii: se in par- 



(*) Mi permetto di usare, per amore di brevità nel linguaggio, di alcune denominazioni di cui si 

 serve Schlàfli nella Memoria citata, ma che non credo in generale adottate; cioè dirò: cono nodale il 

 cono quadrico delle tangenti in un punto conico della superficie, raggi nodali le sei tangenti quadri- 

 punte che escono da esso, piani nodali quelli ia cui si scinde il cono nodale quando il punto doppio 

 è biplanare e spigolo nodale la loro intersezione. 



