276 EICEKCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



ticolare questo piano passa per una retta della superficie, uno dei due circoli deve 

 scindersi in due rette, opperò il piano stesso deve contenere un'altra retta della super- 

 ficie; questa seconda retta passa per l'altro punto doppio perchè, da quanto si disse 

 al n. 50 segue, che ogni retta uscente da uno de' punti doppii è incontrata da una 

 retta passante per l'altro. 



70. Da ciò che si disse precedentemente (n. 49, b) segue che si hanno tre 

 soli coni di Kummer; gli altri due vengono sostituiti da due piani tangenti singolari 

 passanti per la congiungente dei punti doppii. Vi sono tre curve focali aventi ciascuna 

 due punti doppii nei punti doppii della superficie, opperò degenerate ciascuna in due 

 cerchii ; le altre due curve focali vengono sostituite da una quaterna di fuochi posti 

 su un circolo. 



La ciclide [(11)111] può generarsi in tre modi diversi come inviluppo di una 

 sfera il cui centro percorre una quadrica e che è ortogonale a una sfera fissa (*) ; in 

 un modo unico come inviluppo di una sfera il cui centro descrive una conica e 

 che si mantiene ortogonale a una sfera fissa. La conica di quest' ultimo modo di 

 generazione è una delle coniche focali delle tre quadriche omofocali corrispondenti 

 alle tre prime generazioni; la corrispondente sfera determina col piano della conica un 

 fascio di sfere i cui punti-sfere sono i punti doppii della superficie e coincidono coi 

 punti comuni alle sfere direttrici dei tre primi modi di generazione. 



La ciclide considerata determina un sistema di ciclidi omofocali tale che (n. 53) 

 passano per un punto arbitrario dello spazio due sole superficie del sistema ; in parti- 

 colare vi sono nella serie (n. 57) due superficie di terzo ordine con due punti doppii 

 conici, appartenenti, cioè, alla IV specie di Schlafli. 



71. Il caso che ora si presenta ha per simbolo [(11)(11)1]. Combinando linear- 

 mente le due equazioni della superficie si può ottenere per rappresentarla un'equa- 

 zione unica, e precisamente o 



oppure 



m (^3^+ x^^) + m^ x^^= . 



Queste due equazioni, caratteristiche ed uniche per la superficie, mettono in evi- 

 denza quattro suoi punti doppii; i primi, che diremo T, J", sono comuni alle tre 



sfere : 



x, = , x^=^0 , ^5 = ; 



gli altri due che diremo II , II", sono comuni alle tre sfere: 



X3 = , x^=^0 , x^=0 . 



Si può dimostrare, seguendo lo stesso metodo tenuto nel caso [(11)111], che 

 ognuno dei quattro punti doppii così trovati è conico, ma che per ciascuno passano 



(•) Tangente alla quadrica nei due punti doppii della superficie. 



