DI GINO LORIA 277 



due sole rette della superficie contenenti ciasclieduna un altro punto doppio. Precisa- 

 mente si trova che stanno sulla superficie le rette : 



/'//' ; r II' ; r ir ■ r ir . 



Ognuna di queste passando per due punti doppii della superficie prende il posto 

 (cfr. n'. 50 e 69) di quattro delle rette della superficie generale, opperò su questa non 

 vi sono altre rette. 



Ti è un solo cono di Kummer (avente il suo centro nel centro della sfera de- 

 terminata dai quattro punti doppii). La superficie può essere generata in due modi 

 come inviluppo di una sfera il cui centro percorre una conica che è ortogonale a una 

 sfera fissa: le due coniche deferenti sono focali l'una dell'altra. La superficie stessa 

 si può generare in un sol modo come inviluppo di una sfera il cui centro percorre 

 una quadi'ica e che si mantiene ortogonale a una sfera fissa che la tocca in quattro 

 punti. 



Vi è una quai'tica focale avente quattro punti doppii nei punti doppii della 

 superficie e che quindi si scinde in quattro rette e piecisamente nelle I' II , l' II", 

 I" ir, r II' ; inoltre vi sono due quaterne di fuochi, ridotte ciascuna a una coppia 

 di fuochi contati due volte. 



La superficie ha quattro piani tangenti singolari due passanti per la retta /' J", 

 e due passanti per la retta II' , II" . 



Eiassumendo si vede che la ciclide [(11) (11)1] ha quattro punti doppii e quattro 

 piani doppii, ha una conica doppia e un cono quadrico inviluppato da piani bitan- 

 genti , è di quarto ordine e di classe quarta; insomma la ciclide [(11)(11)1] è cor- 

 relativa a se stessa. 



72. Questa specie di ciclide fu scoperta da Dupin (*) cercando il tipo generale 

 della superficie che hanno tutte le loro linee di curvatura circolari ; egli la generava 

 come inviluppo di una delle serie di posizioni che può assumere una sfera che si 

 muove toccando costantemente tre sfere fisse, e riconobbe anzi che vi sono due tali 

 modi di generazione; in ogni modo di generazione la sfera generatrice percorre una 

 conica , e le due coniche a cui per tal modo si giunge sono focali l'una dell'altra e 

 sono i luoghi dei centri di curvatura della superficie. A queste proprietà trovate da 

 Dupin per la sua ciclide, altre ne furono aggiunte in seguito dai geometri che si 

 occuparono di questa superficie: anche recentemente essa formò oggetto di interessanti 

 studii analitici di Cayley (**) e Lemonnier (***). 



Prima di abbandonare la considerazione della ciclide di Dupin , vogliamo fare 

 un'osservazione sulla realtà dei suoi punti doppii. Questi sono determinati come inter- 

 sezione della sfera S=, coi cerchi S, S^ e S- S, : ora siccome di cinque sfere a due a 

 due ortogonali una almeno ha raggio imaginario (n. 9) così tutti ì punti doppii non 



(*) Applications da Geometrie et de Mécanique, Paris, 1822, pag. 200-210. 

 (*') On the Cyclide (Quarterly Journal of Mathematics, t. XII, pag. 148). 

 ('") Elude analytique sur la Cyclide (Nouvelles Annales de Mathématiques. II sèrie, t. IX, p. 514). 



