278 EICEECHE INTOKNO ALLA GEOMETELA DELLA SFERA ECC. 



possono essere reali ; saranno tutti imaginarii se S-^ ha raggio imaginario , due soli di 

 essi saranno reali se una sola delle altre quattro sfere ha raggio imaginario , ecc. : 

 ad ogni modo la cielide di Dupin non può avere più di due piunti doppii reali. — 

 Alla stessa conclusione si giunge rammentando che i punti doppii della cielide di 

 Dupin sono i vertici d'un quadrilatero gobbo, di cui quattro lati incontrano l'assoluto. 

 La cielide di Dupin determina un sistema di ciclidi omofocali tale che per ogni 

 punto passa un'unica superficie del sistema (n. 53); in particolare nel sistema è con- 

 tenuta una superficie di terzo ordine. Questa ha quattro punti doppii conici opperò è 

 la reciproca della superficie romana di Steiner; essa porta il numero XVI nella clas- 

 sificazione di Schlafli. Klein si serv'i di questa notevole superficie per dedurre, mediante 

 opportune deformazioni , le varie forme che possono presentare le superficie di terzo 

 ordine (*). 



73. I casi che ci restano da considerare in questa prima forma canonica non 

 danno che superficie degenerate. 



Nel caso [(IH) Hj combinando le due equazioni della superficie si ottiene per 

 rappresentare l'equazione unica 



opperò la superficie stessa si scinde nelle due sfere: 



le quali non sono in alcuna posizione notevole ; uno dei complessi quadratici deter- 

 minanti, colla quadrica dei punti, la superficie si scinde in questo caso in due complessi 

 lineari; le due sfere ottenute sono i luoghi dei punti sfere di questi ultimi, ma pos- 

 sono però ancora considerarsi in due modi diversi come luogo dei punti-sfere d'un 

 complesso quadratico semplicemente speciale. 



Nel caso [(111) (11)] l'equazione della superficie è riducibile alla forma: 



onde essa si scinde in 



x,±ix-,= Q ; 



rammentando che 5; = , ,^5= rappresentano due sfere ortogonali, si vedià che 

 queste due equazioni rappresentano due punti-sfere. 



Infine nel caso [(llll)lj l'equazione della superficie può ridursi alla forma: 



epperò la cielide degenera in una sfera contata due volte. 



(") V. la bellissima Memoria : Ueber Flàchen drilter Ordnung (Mathematische Amialeii , Bil. VI 

 pag. 551). 



