DI GItvO LORIA 



§ 4. Seconda forma canonica. 



74. Le equazioni della superficie siano : 



I fl , a-," + fl, x^ + flj a;/ + «^ a;,' + 2 a *;, .Tj = 



Dalla seconda di queste risidta (u. 7) , che il sistema di riferimento è composto 

 di quattro sfere 5, s^ S; s,^ a due a due ortogonali e di uno dei punti d'intersezione 

 di tre di esse, s^ s^ s^, considerato come un punto-sfera s^. Le coordinate x^ di un 

 punto sono (n. 11) proporzionali alle sue potenze rispetto a cinque sfere S,, S^, S^, 

 S^, S^òi cui ecco la disposizione. S\ è ortogonale ad s^, s^, s^ e passa pel punto-sfera 

 Ss (che è uno dei punti ad esse comune) epperò si riduce al punto-sfera Sj ; 8^,83,8^, 

 passano pel punto Sj e sono ortogonali rispettivamente alle terne di sfere «3 , s^ , s, ; s^ , 

 s, , Sj ; s, , Sj , S3 : infine S^ forma con s, , s^ , «3 , s^ un sistema di cinque sfere a due a due 

 ortogonali. 



Dunque le sfere : 



a.\ = , X} = , x^ = . ^ 



hanno comune il punto-sfera .• 

 x. = , 

 cioè il punto-sfera Sj . 



Ora combinando fra loro le equazioni (1) si può ottenere per rappresentare la 

 superficie l'equazione unica: 



ì,x,'"+l,x,^ + l3Xi'' + l^x^"=0 ; 



quest'equazione, caratteristica ed unica per la superficie, ci prova che per questa è 

 doppio il punto soddisfacente alle quattro equazioni: 



x,=^0 ■. x^ = ; ajj = ; x^ = ; 



cioè il punto-sfera «5: è poi facile dimostrare che esso è un punto conico non pre- 

 sentante alcuna particolarità. Dei sei raggi nodali che escono da esso, quattro appar- 

 tengono alla superficie e contano due volte ciascuna fra le rette della superficie stessa ; 

 su questa vi sono poi ancora otto rette semplici (cfr. n. 50). 



Per determinare il numero e riconoscere la disposizione delle rette si può (oltre 

 al metodo esposto al n. 50) anche ricorrere ad una superficie di terzo ordine avente 

 un punto doppio per dedurne (cfr. n. 6 7) la superficie di quarto ordine di cui trat- 

 tiamo con una trasformazione per raggi reciproci. Eitenendo le notazioni usate prima 

 (n. 67) noi supporremo che delle dieci rette che incontrano la a^ vengono a coincidere 

 ^46 C5 5 , &5 e e, 5 . Si dimostra allora facilmente (*) che verranno a coincidere anche 



(♦) Per questa, ed altre proprietà delle superficie di terzo ordine con punti doppii, si veda l'ultimo 

 capitolo dell'opei-a di Stubm: Si/nthetiscke Untersuchungen iiber Flachen dritter Ordnung, 1867. 



