282 RICERCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



avremo per equazione della superficie in coordinate cartesiane la seguente: 



da essa segue clie il cono nodale del punto singolare considerato si riduce alla coppia 

 4i piani : 



1 sei raggi nodali uscenti da questo punto biplanare sono le intersezioni dei due 

 piani di cui ora si scrissero le equazioni, col cono: 



X +y +^ =0 , 

 e col piano: 



l^{a^x+b^y + c^:i) + Zj (aja; + 63!/ + Cj^) = ; 



i primi quattro hanno comuni colla superficie più di quattro punti, epperò sono rette 

 della medesima; gli altri due coincidono nella retta: 



«^a; + 6,2/ + c,^=0 ; a^x + b^y + C3Z=:0 . 



Dunque in questo caso la superficie ha un punto doppio biplanare speciale 

 in quanto due dei raggi nodali coincidono nello spigolo nodale ; per esso passano 

 quattro rette della superficie. Queste sono le uniche rette che esistano sulla superficie : 

 infatti questo caso si ottiene dal caso [(11)111] facendo coincidere (*) i due punti 

 doppii che allora si avevano ; così facendo le otto rette della superficie che si avevano 

 vengono a coppie a coincidere nelle quattro che ora trovammo. La stessa considerazione 

 ci prova che si hanno due cicliche focali scisse in due cerchii fra loro tangenti e una 

 quaterna focale composta di due coppie di punti poste su due secanti dell'assoluto. 



Si hanno due soli coni di Kummer; gli altri due sono sostituiti da due piani 

 tangenti singolari della superficie. La ciclide può generarsi in due modi come invi- 

 luppo di una serie doppiamente infinita di sfere , ma in un modo unico come inviluppo 

 di una serie semplicemente infinita. 



Una ciclide [(21)11] determina un sistema di secondo grado di ciclidi omofocali, 

 nel quale sono contenute due superficie di terzo ordine; siccome ognuna di queste ha 

 un punto doppio biplanare da cui escono cinque rette della superficie, una delle quali 

 coincide collo spigolo nodale, così esse appartengono alla specie V di Schlàfli. 



77. Nel caso [21(11)] la superficie ha tre punti doppii conici. Ciò risulta sia 

 da una ricei'ca diretta, sia dal confronto dei risultati ottenuti nei due casi [2111] 



(") Il dedurre le singolarità di una specie di ciclide da quelle di un'altra facendo coincidere punti 

 singolari che in quest'ultima erano distinti, è conseguenza del servirsi nella classificazione del metodo 

 di Weierstrass; cornei varii sistemi di divisori elementari eie varie forme canoniche, date da questo, 

 si possono distribuire in categorie tali che i varii sistemi o risp. le varie forme d'una stessa si possono 

 ottenere con successivi passaggi al limite, così si potrà fare per dedurre l'una dall'altra le varie specie 

 di figure geometi-iche rappresentate da queste. Il Weiler fece già uso varie volte di questo metodo nella 

 sua classificazione dei complessi quadratici di rette. 



