DI GINO LORIA 283 



(n. 74) e [111(11)] (n. 70). I tre punti doppii sono di due specie; per uno di essi, 

 che diremo A , passano due sole rette della superficie , ognuna delle quali deve con- 

 tarsi quattro Tolte fra le rette della superficie percliè contiene uno degli altri due 

 punti doppii A, e A^. Per Ai passano invece , oltre alla A^ A , due rette della super- 

 ficie. Ogni retta uscente da A, è incontrata da una uscente da A^ . 



Il confronto coi casi citati ci dimostra l'esistenza di due cicliche focali: una sta sul 

 punto-sfera A ed ha per punti doppii A, e A^ opperò si scinde in due cerchii che si 

 secano in questi due punti: l'altra ha tre punti doppii in AA^A^ onde si scinde in 

 una conica passante per A, e A^ e in due sue secanti aventi comune il punto A . 



78. Yi è un cono di Kummer ordinario, e un cono straordinario; gli altri sono- 

 sostituiti da una coppia di piani tangenti singolari passanti per la retta A,A^. 



Infine vi è una quaterna di fuochi, in cui vi sono due fuochi coincidenti. 

 Osserviamo che le quattro superficie di simboli : 



[Hill], [2111], [iii(ii)][2i(ii)][(ii)(ii)ij 



sono ciascuna più generale della seguente, perchè hanno ordinatamente 0, 1, 2, 3, 4 

 punti doppii le ultime quattro corrispondono alle specie a) , b) , d) , e) di Sturm (*) ; 

 la loro rappresentazione piana fu indicata da Korndorfer (**). 



Il sistema di ciclidi omofocali alla cicUde data di specie [21(11)] è tale che 

 per ogni punto dello spazio passano due sue superficie; in particolare esso contiene 

 due superficie di terzo ordine , aventi ciascuna tre punti doppii generali e apparte- 

 nenti alla specie Vili di Schlafli. 



79. Passando ora al caso [(21)(11)] e confrontandolo coi due casi [(21)11] e 

 [21(11)] vedremo che la superficie ha due punti doppii conici generali e un punto 

 doppio hiplanare specializzato come nel caso [(21)11] per quanto riguarda i raggi no- 

 dali che non sono rette della superficie. Ma siccome [(21) (11)] si ottiene da 

 [(11) (11)1] facendo coincidere due dei punti doppii che si avevano , in questo caso 

 non posti su una stessa retta della superficie, così in questo caso vi sono solo due 

 rette della superficie, quelle cioè che congiungono il punto hiplanare ai due punti 

 doppii. La stessa considerazione ci prova che non vi sono curve focali, ma solo due 

 quaterne di fuochi, una delle quali è ridotta a una coppia di fuochi l'altra a un 

 fuoco unico. Xon vi sono coni di Kummer, che questi sono sostituiti da due coppie 

 di piani tangenti singolari. 



La superficie non è generabile come inviluppo di una serie doppiamente infinita 

 di sfere , ma lo è in due modi come inviluppo di una serie semplicemente infinita. 



Il sistema di ciclidi omofocali alla ciclide [(21) (11)] è di primo grado, ond'è 

 che nella serie stessa vi è un'unica superficie di terzo ordine ; questa appartiene alla 

 XVIII specie di Schlafli. 



(^*) Y. la citata Memoria: TJéber die Fldchen mit einer endlichen Zahl von (einfachen) Geraden 

 B. s. w. (Matliematische Annalen, Bd. IV, pag. 268-270). 



(*») Maihem. Annalen Bd. I, p. 592, Gli e Bd. II, p. 50, 58. 



