284 EICEKCHE INTORNO ALLA GEOIIETKIA DELLA SFERA ECC. 



80. Negli altri due casi che restano da considerare in questa forma canonica la 

 ciclide degenera. 



Nel caso [(211)1] si pup prendere per equazione della superficie la seguente: 



donde segue che la ciclide si scinde in due sfere fra di loro tangenti; nel caso [2(111)] 

 è lecito assumere come equazione della superficie la 



la quale si scinde in 



a;, = 

 rappresentante un punto-sfera e 



Z,a;, + 2Za;3 = , 



rappresentante una sfera non passante per quel punto. 



Infine nel caso [(2111)] si ha una sfera contata due volte e ridotta a un punto. 



§ 5. Terza forma cartonica. 



81. Nel caso [221] le equazioni della superfìcie siano: * 



l a(x,^-{-x^) + a^-^x^ -^2a,^x^x^-\-2a^r,x,x^=^ 

 I R^ (x,^ +x^') -{- B}^ x^^ + 2E,^x,x^+2B^-^x^Xs^=0 . 



L'esame della forma di quest'ultima equazione ci prova che il sistema di riferi- 

 mento consta di tre sfere s, s^ s^ a due a due ortogonaK , di un punto-sfera' s^ posto 

 sul cerchio s^S; e di un punto-sfera 55 posto con s^ su una secante dell'assoluto. Donde 

 segue poi che le sfere dell'altro sistema sono disposte nel seguente modo: S,, S^, S^ pas- 

 sano pei punti sfere 5^55 (epperò hanno per generatrice comune la congiungente questi 

 due punti) e sono ortogonali rispett. alle coppie di sfere s^, s^; s-^, s, ; s,, s^; infine S^ 

 passa pel punto-sfera s^ , S^ per s,^ ed entrambe sono ortogonali alle tre sfere s, s^ s^ . 



Da tutto ciò segue che le quattro sfere: 



x, = , x^ = , x-^^O , x^ = , 



hanno comune il punto-sfera s-^ , mentre 



x, = , x^ = , X; — 0, 0-5 = , 



hanno comune il punto-sfera s^ . 



Combinando linearmente le due equazioni (1) si possono ottenere due equazioni 

 della forma: 



l(x" + x^^)+ 13X3" + 2 l'x,x^ = , 



m{x,'' + a;/) + m^ a-j' + 2 m ' x^x^^O , 



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