DI GINO LORIA 285 



Ognuna delle quali è sufficiente a rappresentare completamente la superficie clie stu- 

 diamo. La prima ci prova esser doppio per la superficie il punto: 



x, — , x^ = , X3 = , x^ — , 



cioè il punto-sfera s^ , la seconda invece ci dimostra che è doppio per la superficie il 

 punto : 



cioè il punto-sfera 5,. Dunque la ciclide [^21] ha due punti doppii posti su una 

 secante dell'assoluto (*). 



82. Per ogni punto doppio passano tre rette della superficie fra cui è sempre 

 compresa la congiungente dei due punti doppii. Per vedere se sulla superficie vi siano 

 altre rette e, nel caso aifermativo, riconoscerne la disposizione ricorriamo, come già 

 facemmo in casi precedenti, alla trasformazione di una superficie di terzo ordine. 



Eitenendo sempre le notazioni del n. 6 7 , supponiamo che nella superficie cubica 

 le rette h^, h^, h^, h^ vengano a coincidere rispettivamente con C35 , c^^, , 05^ , c^^ 

 risulta , allora che le rette a, , «^ , 03 , bf, coincideranno rispettivamente colle rette 

 C.3. Cj, , c„, c^5, eie rette a,, a^, «5 , i^ rispettivamente colle c^j , c.j , c,^, 0,3; 

 di più le quattro rette a cui si ridussero a,, a^, a^, 65, c^j, C3, , c,^, c^^ passano 

 per un punto doppio B delle superficie , le altre quattro passano per un punto 

 doppio C; siccome poi, per ciò ora si disse, a, e 65 coincidono tanto con c^j come 

 con c^5 , così la congiungente i due punti doppii conta per quattro delle rette delle 

 superficie di cui ora parlammo. Concludendo, la superficie di terzo ordine ha : 1° per 

 retta quaternaria la congiungente A dei due punti doppi (la quale prende il posto 

 delle G, , Cj3, c^5 , 65), 2° quattro rette binarie: due, S\ JB" passanti pel punto 

 doppio B (di cui la prima sostituisce le i-ette «3, c,^, la secondale rette a^, c.j), 

 due C', C" passanti pel punto doppio C, di cui la prima fa le veci di a^^ , C5, , l'altra 

 fa le veci di a^ , a,^ . La conica che corrisponde a una sezione della superficie fatta 

 con un piano passante per la retta a^ è incontrata ancora dalle rette semplici c^^ , 

 C34 1 c^5 , C35 . Ciò che ora si disse per la superficie di terzo ordine , si trasporta 

 alla ciclide che studiamo , mediante una trasformazione per raggi vettori reciproci ; 

 dunque potremo dire: La ciclide [221] lia per una sua retta la congiungente A 

 dei due punti doppii (retta quaternaria) ; per ognuno di questi passano due rette 

 (hinarie) della superficie B', B"; C', C"; sulla superficie vi sono ancora quattro 

 rette (semplici). Da ciò che si dimostrò prima (n. 67) sulla disposizione delle rette 

 della ciclide generale deduciamo che : 



(") Questa corrisponde alla specie e) di Stuhm (1. e, pag. 268) ; per la sua rappresentazione piana 

 vedi Math. Ànnalen, Bd. Il, p. 40. 



