A 



B" 



C34 



C35 



A 



B' 



'h 



c.s 



A 



C" 



^^'. 



c„ 



A 



c 



c.s 



C35 



B' 



e 



C35 





B" 



e 



C.5 





B" 



C" 



^34 





B' 



C" 



c„. 



) 



286 KICERCHE INTORNO ALLA GEOMETEIA DELLA SFERA ECC. 



la retta B' incontra le rette 



B" 



C » 



C" 

 » C3, » 



» c,^ » 



» C,5 » 



» C35 » 



il che può riassumersi dicendo: Ogìii retta della superficie uscente da un punto 

 doppio incontra, oltre alia sua compagna e alla retta quaternaria, due rette sem- 

 plici delle superficie; ogni retta semplice incontra due rette binarie uscenti da 

 punti doppii diversi e un'altra retta semplice ; itifine la retta quaternaria non 

 incontra che le rette binarie. 



Le rette della superficie costituiscono quattro quadrilateri gobbi : 



AB'O'c,^ ; AB'C'cy, ; AB"C'c,^ ; AB"C"c,, . 



83. La ciclide [221] ammette un cono di Kummer ordinario e due coni straor- 

 dinarii. Essa ha tre cicliche focali : due son poste sui punti-sfere che coincidono 

 coi punti doppii e hanno ciascuna un punto doppio in uno di questi: la terza ha 

 due punti doppii nei punti doppii della superficie, epperò si scinde in una cubica 

 gobba ed una sua secante. La superficie può generarsi in tre modi come inviluppo di 

 una serie doppiamente infinita di sfere. 



n sistema di ciclidi omofocali alla data è di terzo grado; in particolare in esso 

 sono contenute tre superficie di terzo ordine appartenenti alla specie IV di Schlafli. 



84. Il caso che ora dobbiamo trattare ha per simbolo [2(21)]; combinando 

 linearmente le due corrispondenti equazioni canoniche della superficie, si può ottenere 

 una equazione rappresentatrice unica che può porsi sotto una delle due seguenti forme : 



w (x^"" + .r/) + m-^Xi' + 2 m' x^ % = , 



le quali mostrano che la superficie ha ancora due punti singolari posti su una secante 

 dell'assoluto , ma che uno di essi è biplanare speciale perciò che due dei suoi raggi 

 nodali coincidono collo spigolo nodale. 



Il caso che ora studiamo si deduce dal caso già trattato (n. 77) [21(11)] facendo 

 coincidere in un punto biplanare i due punti doppii che allora designavamo con A, 

 e A^. Da tale considerazione risulta che sulla superficie vi sono soltanto tre rette; 

 una è la congiungente dei due punti singolari, le altre due escono dal punto biplanare. 



Non vi sono coni di Kummer, si ha solo un cono straordinario, gli altri sono 

 sostituiti da due piani tangenti singolari. Yi è una sola curva focale situata su un 



