DI GINO LORIA 287 



punto-sfera e degenerata in due circoli fra di loro tangenti ; poi vi è una quaterna 

 di fuochi posti su un punto-sfera e in cui due fuochi coincidono. La superficie può 

 generarsi in uu sol modo come inviluppo di oo' sfere e in un modo come inviluppo 

 di «>3' sfere. 



Il sistema di ciclidi omofocali alla superficie che stiamo studiando è di secondo 

 grado, opperò esso contiene due superficie di terzo ordine ; queste appartengono alla X 

 specie di Schliifli. 



85. Nel caso rappresentato simbolicamente con [(22)1], combinando fra loro le 

 due equazioni della superficie si può ottenere per rappresentarla, l' equazione unica : 



l{x,^ ->rx^)+l' x^=^ . 



Quest'equazione, caratteristica ed unica per la superficie, ci fa vedere che per 

 questa sono doppii tutti i punti pei quali si ha: 



a;, =0 , a;,=0 , 0:3=0 , 



cioè tutti i punti della generatrice comune alle tre sfere S^, S^, S^ (n. 81). Ora, quando 

 una superficie di quarto ordine ha per linee doppie una conica ed una sua secante 

 (più generalmente una cubica gobba), ogni retta condotta per un punto arbitrano 

 della superficie a secarle entrambe ha comuni colla superficie stessa cinque punti opperò 

 sta totalmente in essa; la superficie contiene allora infinite rette, opperò è una 

 rigata. Dunque nel caso che trattiamo, [(22)1], la ciclide si riduce ad una rigata 

 di 4° grado avente per linee doppie il cerchio imaginario all'infinito e una sua 

 secante ; si può dimostrare che essa è correlativa a se stessa , epperò essa occupa il 

 secondo posto nella classificazione di Cremona (*) , il settimo in quella di Cayley (**). 



I coni di Kummer sono sostituiti dalla retta doppia ( come luogo , la quale è 

 anche doppia come inviluppo) e da un cono quadrico. Le cicliche focali si ridu~ 

 cono ad una sola scissa in due rette sghembe ed una loro secante contata due volte , 

 poi vi è una quaterna focale composta di due fuochi posti sulla retta doppia della 

 superficie. 



La rigata di quarto grado avente per linea doppia il cerchio imaginario con una 

 sua secante può generarsi in un sol modo come inviluppo di una serie doppiamente 

 infinita di sfere. 



Anche questa specie di ciclide determina un sistema di ciclidi omofocali com- 

 posto di rigate ; in esso è contenuta una rigata di terzo ordine , la XXII nella 

 classificazione di Schlafli, la 1^ nella classificazione fatta da Cayley (***), delle rigate 

 di terzo gi'ado. 



(*) Sulle superficie gobbe di quarto grado (Memorie dell'Accademia delle Scienze dell' Istituto di 

 Bologna, 1868, serie 2s t. Vili). 



(**) Second Memoir on skevo surfaces otherwise scrolls (Philosophical Transactions of the Royal 

 Society of London, 1864, voi. \b'i). 

 {***) L. e, p. 568. 



