288 EICEKCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



86. L'ultimo caso da considerare in questa forma è quella che ha per simbolo 

 [(221)] ; combinando opportunamente le corrispondenti equazioni si ottiene per rap- 

 presentare la superficie l'equazione unica: 



che si scinde nelle due: 



x,± ix^ = , 



Siccome le sfere x, — 0, x^^=0 hanno comune (n. 81) una generatrice, così lo 

 stesso accade per le due sfere x,dizix^^= ; dunque nel caso [(221)] la ciclide si 

 scinde in due sfere aventi comune una generatrice. 



§ 6. Quarta forma canonica. 



87. Nel caso [311] le equazioni della ciclide sono: 



\ a (x/ + 2 x^ x^) + a^ x^"" + a^ x^'' + 2a,^x,x^ = I 

 (1) \ } . 



I r'(x; + 2x,,x,)+e;x,^+b;x;+2b,^x,x,=o \ 



Da queste equazioni risulta che le sfere fondamentali s, s^Sj sono a due a due 

 ortogonali, che s^ è un punto-sfera del cerchio s^ , Sj ; che infine s.- è un punto- 

 sfera comune alle sfere s, s^s^. — Le altre cinque sfere S\ sono disposte nel seguente 

 modo : S,, S^ , S^ passano pei punti-sfere s^ , s^ e sono rispettivamente ortogonali 

 alle coppie di sfere s^ , Sj ; Sj , s, ; s, , s^ ; S,^ coincide col punto-sfera s, ; S-^ 

 passa pel punto-sfera s^ ed è ortogonale alle sfere s, , s^, s^. Di più, la costruzione 

 effettiva della seconda quintupla di sfere , prova che S^ coincide con s^ e S^ con s, . 



Combinando convenientemente le equazioni (1), otterremo per rappresentare ana- 

 liticamente la superficie, l'equazione: 



hx^'+l3Xs'+2lx,x,^ = , 



la quale è caratteristica ed unica per la superficie che studiamo. Essa ci prova che il 

 punto-sfera s^ comune alle sfere S^ S^ S^ e coincidente col punto-sfera S^ è singolare 

 per la superficie ; di più se assumiamo , com'è lecito , 



x,^x^-]-y''+ z' ~ 2ax 

 x^^x^+i/+z^— 2by 



2 , 2 , 2 r» 



0^3 = 0; + y + ^ ~ le z 

 x^^zx +y +2 , 



otterremo per equazione della superficie in coordinate cartesiane la seguente: 



,„, \ {h-^h-^2l){x'-^y'^z'y ~ i{x'^y--^z'){alx^dl^y^chz) 



(<s) . . . < 



