DI GINO LORIA 



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Da questa risulta che il punto singolare della superficie , non è conico , ma bipla- 

 nai-e generale, che quattro dei corrispondenti raggi nodali sono rette della superficie 

 e che gli altri due sono distinti. 



Ognuna delle quattro rette così trovate della superficie conta per tre; sulla 

 superficie vi sono ancora quattro rette semplici, ciascuna delle quali seca una delle 

 rette della superficie uscenti dal punto biplanare. 



Vi sono due coni di Kummer ed un cono straordinario (che prende il posto di 

 tre coni di Kummer). Eammentando ciò che si disse nel caso [2111], si vedrà che 

 le tre cicliche focali sono di due specie ; l' una sta sul cono circoscritto dal punto ■ 

 singolare all'assoluto ed ha in questo punto un punto doppio, le altre due stanno su 

 sfere ed hanno ciascuna una cuspide nel punto biplanare della superficie. 



La ciclide [311] può generarsi in tre modi come inviluppo di una serie doppia- 

 mente infinita di sfere. 



Il sistema di ciclidi omofocali è di terzo grado ; le tre superficie di terzo ordine 

 che gli appartengono e che passano per un punto qualunque sono della specie III di 

 Schlafli. 



88. Passando ora alla ciclide avente per simbolo [3(11)], vediamo che per 

 rappresentarla può servire l'equazione unica : 



m (x,''+ 2 Xj^ x^) + 2 ni x,x^ = , 



la quale mostra che la superficie ha (oltre al punto biplanare del caso precedente) 

 due punti conici , quelli cioè in cui le due sfere S, , S^ incontrano la sfera di raggio 

 nullo S^ . 



Inoltre l'equazione (2) del numero precedente può servire anche per questo caso 

 purché in essa si faccia: 



essa allora mutasi nella seguente : 



(3)... {l + r){x'+if + /f-2[alx~al'itj + ^)]{x' + i/ + /) + o'n:{/ + /) = ; 



questa ci prova che pel punto biplanare passano soltanto due rette della superficie 

 ognuna delle quali contiene uno dei punti conici ; per ciascuno di questi passa ancora 

 una sola retta della superficie. Oltre a queste quattro non vi sono sulla superficie 

 altre rette. 



Le specialità della ciclide che stiamo studiando si possono confrontare con quelle 

 della ciclide [21(11)] di cui essa è caso particolare. 



Non vi sono coni di Kummer , ma solo un cono straordinario ( clie prende il 

 posto di tre ordinari!); gli altri due sono sostituiti da due piani tangenti singolari 

 passanti per la congiungente dei due punti conici. Vi è poi una cicKca focale posta 

 su una sfera di raggio nullo e scissa in un cerchio e due rette secantisi su di esso, 

 e una quaterna di fuochi in cui tre fuochi vennero a coincidere. La superficie può 

 generarsi in un modo come inviluppo di oo^ e in un modo come inviluppo di oo' sfere. 



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