290 RICERCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



Il sistema di ciclidi omofocali alla ciclide [3(11)] è di secondo grado e com- 

 prende due superficie di terzo ordine appartenenti alla XIII specie di Schlafli. 



89. Quando si yerifica il caso [(31)1] l'equazione della superficie può in un 

 solo modo porsi sotto la forma 



Servendoci di questa, potremo dimostrare che il punto singolare che verifica le 

 tre equazioni: 



a;, = , X3 = , 3:^ = 



è uniplanare. Infatti, è lecito prendere: 



x,^x'+ì/ + /—2ax 

 x-, = x +y + z —2 cs 



■ 2 , 2 , 2 . 



x^=:x +y +z , 



o allora si ha per equazione della superficie , in coordinate cartesiane , la seguente : 



(4) . .. {l^ + 2l){x^ + if + s^y-i{x^ + y^ + s^){alx+cl,z) + Ac'-l,^^=^0 ; 



da questa segue appunto che tutte le tangenti tripunte della superficie nel punto sin- 

 golare (origine) stanno nel piano : 



z = , 



cioè che il punto singolare è uniplanare. Pel punto uniplanare passano due sole rette 

 della superficie (le rette x^ + y^'^^O , z=0) e un raggio nodale (avente per equazioni 

 x = 0, z=zO). 



Sulla superficie non vi sono altre rette : ciò risulta considerando che il caso 

 [1(31)], che trattiamo, è più particolare del caso [11(21)], già considerato al n. 76, 

 e che quello può ricavarsi da questo. 



Vi è una sola ciclica focale scissa in un cerchio e due rette che si secano in un 

 suo punto e stanno in un suo piano tangente ; vi ha una quaterna focale posta su un 

 cerchio di raggio nullo , della quale due fuochi coincidono nel centro del cerchio 

 stesso ; così vi è un solo cono di Kummer , gli altri sono sostituiti da piani singolari. 

 La superficie può generarsi in un modo sia come inviluppo di una serie doppiamente 

 infinita, sia come inviluppo di una serie semplicemente infinita di sfere. 



La serie di ciclidi omofocali alla ciclide [(31)1] è di secondo grado, epperò 

 contiene due superficie di terzo ordine ; queste appartengono alla XII specie di Schlafli. 



90. Finalmente nel caso [(311)] per equazione della superficie si può prendere: 



x.x, = , 



onde la superficie si scinde in una sfera e in un punto-sfera posto su di essa. 



