DI GINO LORIA 291 



§ 7. Quinta forma canonica. 



91. Quando la ciclide ha per simbolo [32], può rappresentarsi colle due equa- 



i: 



(1) 



aoni : 



^ rt, (x,'+ 2 x^ x^ + 2 a^x^x-^-\- «3 {x^-\- 2 x,, x) — 



\ !?/(:?;+ 2 x, x) + 2 J?,3 X, x, + B;{x;+ 2 a;3 rr.) = 



Dall'esame della seconda di queste equazioni risulta (n. 7 ) che il sistema di 

 riferimento è composto di due sfere s, s^ fra di loro ortogonali e di tre punti-sfere 

 535^53, dei quali s^ sta su s, e con s^ su una secante dell'assoluto, s^ sta su s, e s^ 

 e con Sj su una secante dell'assoluto , S5 sta su s^ e con 53 , s^ su due secanti dell'as- 

 soluto. 



Il sistema delle sfere fondamentali è formato come segue : La sfera S, è orto- 

 gonale a Sj e passa pei punti-sfere 53 , s^, Sj . S^ è ortogonale a s, e passa per s, , 

 s^ , S5 onde coincide con S^; S^ è ortogonale a s, , s^ e passa per s^, Sj , onde coincide 

 con S^; infine iS^, e S^ sono ortogonali' a s, , s^ e passano, la prima pei punti «3, Sj, 

 la seconda pei punti «3 , s^; tanto s, e S^ come s^ e ^S*^ hanno ima generatrice comune. 



92. Combinando fra loro le equazioni (1) si può ottenere, per rappi'eseutare la 

 superfìcie, una delle equazioni: 



i {x;+ 2 X, X,) + r (x; +2x,x,) = o 



m {x^-\- 2x^x,)-\-2 m x^x-^ = , 



la prima delle quali dimostra essere singolare per la superficie il punto che soddisfa 

 alle quattro equazioni: 



x, — 0, a;^ = , a;3 = , x^ = , 



cioè il punto S5 ; la seconda invece dimostra che per la superficie è singolare il punto 

 che Terifica le quattro equazioni: 



x, = , x^ = (ì , 2:3 = , x^ = , 



cioè il punto s^. Si può poi dimostrare che il secondo dei punti doppii è conico 

 mentre il primo è biplanare e che la loro congiungente appartiene alla superficie. 



La superficie in discorso è caso particolare di quella che ha per simbolo [221] 

 e che già studiammo; da questa considerazione si trae con facilità che, oltre alla 

 congiungente dei punti singolari esistono sulla superficie ancora cinque rette; due escono 

 dal punto doppio, una contiene il punto biplanare, le altre non passano né pel primo, 

 ne pel secondo. 



Non yì sono coni di Kummer, ma si hanno due coni straordinarii. Si hanno due 

 cicliche focali poste ciascuna su uno dei coni circoscritti dai due punti doppii all'as- 



