292 EICEECHE INTORNO ALLA GEOMETEIA DELLA SFEKA ECC. 



soluto; quella posta sul cono che corrisponde al punto doppio ha una cuspide nel 

 punto biplanare della ciclide ; l'altra si scinde in una cubica gobba e la congiungente 

 dei punti singolari della superficie. 



La ciclide [32] può generarsi in due modi come inviluppo di oo' sfere; il sistema 

 di ciclidi ad essa omofocali è di terzo grado ; le tre superficie di terzo ordine conte- 

 nute in esso appartengono alla VI specie di Schlafli. 



93. Combinando linearmente le due equazioni della superficie che si hanno pel 

 caso [(32)] si ottiene per rappresentarla l'equazione unica: 



Questa ci prova esser doppii per la superficie i punti pei quaU si ha contempo- 

 raneamente 



x, = , a;^ = , Xi=0 ; 



ora queste sono verificate da tutti i punti della retta clie unisce i punti-sfere s,, s^, 

 dunque la superficie ha in questo caso una retta doppia donde segue (cfr. n. 85) che 

 la ciclide diviene in questo caso una rigata di 4° grado; per essa la retta doppia 

 (come luogo) rappresenta anche l'inviluppo dei piani bitangenti perchè non vi è alcun 

 cono di Kummer. La rigata di quarto grado ora ottenuta è diversa da quella a cui 

 giungemmo nel caso [(22)1] (n. 85): quella era la II nella classificazione di Cremona, 

 la 7" in quella di Cayley; questa invece è la IV di Cremona, l'il* nella nuova clas- 

 sificazione di Cayley (*). 



Non vi sono cicliche focali, ma solo una quaterna focale ridotta a un punto 

 della retta doppia. 



La serie omofocale è di primo grado ; la superficie cubica in essa contenuta è 

 la 2^ delle rigate di terzo grado di Cayley. 



§ 8. Sesia forma canonica. 



94. Nel caso [41] la ciclide può rappresentarsi colle due equazioni: 



l a, x^ + a (.r^-l- 2 Xj, x^) + 2 a {x^ x^ -\-XiX^) = I 

 j E;x; + E'{x;+2x,x^) + 2R'\x,x^+x,Xs) = \ 



(1) 



Esaminando la seconda di queste equazioni dedurremo (n. 7) che le sfere s, , s^ 

 sono fra di loro ortogonali e che le altre sfere di riferimento sono ridotte a punti- 

 sfere; di più i punti-sfere s^, s-^ stanno sul cerchio d'intersezione di s, e s^ mentre il 

 punto-sfera s^ sta sulla sfera s, e col punto-sfera s^ su una secante dell'assoluto. 



(') Cfi. Salmon-Fiedler, Analytische Geometrie des Raumes (Dritte Auflage, Ì8S0, li Theil) , 

 p. 440. 



