DI GINO LORIA 293" 



Quanto al secondo sistema di sfere S^, ecco come esso è costituito. S, è ortogo- 

 nale a Sj e passa pei punti-sfere s^ s^ Sj , onde (indicando, con C; il centro di s,- ) il 

 suo piano tangente in C5 è C^ C^ C=, e il suo piano tangente in C, passa per C^ C3 . 

 S^ è ortogonale a s, e passa pei punti C^, C^, C5 onde dove toccare tanto in C^ 

 come in C5 il piano C, C^ C5 onde si riduce al punto (considerato come sfera) in cui 

 il cono circoscritto da C3 all'assoluto incontra la retta C^ C5 . S^ passa pei punti-sfere 

 s,, S5 ed è ortogonale alle sfere s, e s^; il piano ad esso tangente in Cj è C, C^ Cj 

 e dorrebbe passare per la generatrice C,^ C^ della sfera in discorso: ora siccome in 

 generale i punti C, C^ C, C5 non stanno nel medesimo piano, così la sfera S^ deve 

 ridursi al punto-sfera Sj . 5'^ passa pei punti-sfere S3S5 ed è ortogonale alle sfere s, 

 s^ , onde tocca in Cj il piano C, C^ C3 e in C5 il piano C, C^ C5 . Infine la sfera S^ 

 passa pei punti-sfere Sj, 5^ ed è ortogonale alle sfere s^s^, tocca in conseguenza in 

 C3 il piano C, C^a,. 



95. Combinando le equazioni (1) si può, in un modo unico, ottenere, per rap- 

 presentare la superficie , l'equazione : 



(2) l{x;+2x3X,)+2l'{x,x^+X3Xs) = . 



Segue da questa equazione che il punto S5 il quale soddisfa (v. n. prec. ) le 

 quattro equazioni: 



x^ = , Xi = , x^=zO , 0:5 = , 



è un punto singolare della ciclide [41]. Si verifica poi, usando lo stesso metodo di 

 cui ci servimmo per le ricerche analoghe nei casi precedenti , che esso è biplanare e 

 che di più due delle rette della superficie uscenti da esso coincidono nello , spigolo 

 nodale; i due raggi nodali uscenti dal punto biplanare sono distinti. 



La superficie in discorso può riguardarsi come caso particolare della ciclide di 

 simbolo [311] già studiata nel § 6; ciò permette di riconoscere con più facilità che 

 in esse si trovano ancora altre due rette che si secano, ognuna delle quali incontra 

 una delle rette uscenti dal punto singolare. 



Vi è un solo cono di Kummer, ma di più vi è un cono straordinario. Vi sono 

 due cicliche focali ; una, posta su una sfera di raggio nullo, ha una cuspide nel centro 

 di questa; Taltra è scissa in una cubica ed una sua tangente. 



La ciclide [41] può considerarsi in due modi, come inviluppo di 00^ sfere; essa 

 determina un sistema di terzo grado di ciclidi omofocali , nel quale sono quindi con- 

 tenute tre superficie cubiche ; queste appartengono alla V specie di Schlàfli. 



96. Per equazione della ciclide [(41)] si può prendere la seguente: 



x,"'+2x^,x^ = . 



Si dimostra senza difficoltà, col solito metodo, che il punto s^ soddisfacente le 

 equazioni 



x^:=0 , a;3 = , a;^ = , 



