294 RICERCHE INTORNO ALLA GEOMETRIA DELLA SFERA ECC. 



è singolare per la supei-ficie, e che precisamente esso è uniplanare ; da esso esce una 

 retta della superficie posta nel piano nodale e due raggi nodali coincidenti. Sulla 

 superficie non v'ha altra retta che quella di cui or ora parlammo. 



Non tì è nessun cono di Kummer, e così nessuna cicKca focale; non vi è che 

 una quaterna di fuochi ridotta a due fuochi uno dei quali Yale per tre. 



La ciclide [(41)] non può che considerarsi in un sol modo come inviluppo di 

 un numero semplicemente infinito di sfere ; essa determina un sistema di secondo grado 

 di ciclidi omofocali; le due superficie di terzo ordine che essa contiene appartengono 

 alla XV specie di Schlafli. 



§ 9. SeUima forma canonica. 



97. Nell'ultimo caso che dohbiamo considerare la superficie ha il simbolo [5] 

 e può rappresentarsi colle due equazioni : 



i R''{x,^+2x^x^ + 2xsX^) + 2E'{x^x., + x,X3) — \ 



Dalla seconda di queste equazioni risulta (n. 7) che nel sistema di sfere fonda- 

 mentali yì è una sola sfera propria s, e quattro punti-sfere s^s^s^^s^ dei quali s^s^s^ 

 stanno sulla sfera s, e son tali che le rette s^ Sj , s^s^, s^ s^ secano l'assoluto. 



Da ciò segue poi la disposizione delle sfere ^S*;. La sfera S, è determinata dal 

 doyer passare pei punti s^s^s^s^ (essa ha dunque per generatrice le rette s^s^, s^s,^ e 

 s^s^ e per piano tangente in s^ il piano s^s^s.-). La sfera S^ passa pei punti 535,^.55 ed 

 è ortogonale ad >S', , per conseguenza essa deve coincidere col punto-sfera 5^ . La sfera S^ 

 e toccata tanto in s, come in Sj dal piano che unisce i punti s^ , s^ al centro della sfera 

 S, onde deve degenerare ; siccome deve passare pel punto-sfera s^ , cosi se circoscriviamo 

 da questo un cono all'assoluto e ne determiniamo il punto a distanza finita che sta 

 sulla retta s^ s, , questo sarà il punto in cui degenera la sfera S^ . La sfera S^ è de- 

 terminata dalle condizioni di passare pei punti-sfere s^ s^ s, ed essere ortogonale ad s, . 

 La sfera 6*5 finalmente passa pei punti s^s^s, ed è ortogonale ad s, . 



98. Ciò posto, combiniamo linearmente le equazioni (1) e ricaviamone l'equa- 

 zione seguente : 



a;, x^ + x^ % = . 



Questa basta a rappresentare completamente la ciclide [5] ed è caratteristica 

 per questo caso. Il punto che soddisfa le quattro equazioni: 



a;, = , a'j := , x^^O , iCj == , 



cioè il punto-sfera s, , è singolare per la superficie. Si dimostra col solito metodo che 

 il punto s^ è biplanare ; delle quattro rette della superficie che escono in generale da 



