sull'attrazione degli ellissoidi, ecc. 23 



Armoniche elementari di l a e 2 a specie. 



§ 18. — Una funzione, armonica all'interno ed all'esterno dell'ellissoide, che 

 sovra di questo assume i valori di una funzione intera delle coordinate x, y, z, è 

 all'interno (§ 8) un polinomio armonico dello stesso grado: per conseguenza essa è 

 sempre esprimibile sotto la forma: 



V— V 77 77 — _j!l!H_ f" 



H?+9+ r . ds 



p,?,r s 



(jP + 2 + »" = », « — 1, n — 2, ..., 0), 



essendo n il grado della funzione data. 



Consideriamo l'armonica più generale deH'« mo ordine: 



V = 2$L Va U 



" n L-j p,5,r M'' ' 



p,J,r 



[p + 1 + r = n, m>1); 



è facile trovare a quali equazioni debbono soddisfare gli '-^-^ — -^ — 3 coefficienti a 



affinchè la V n effettivamente sia armonica anche all'interno, e cioè, perchè si annulli 

 identicamente la espressione : 



p,?,'- 



A tal uopo occorre generalizzare la nota formula (*): 



_i a n - r (x>-iy _ (x*-iy d^^-iy (( , 



n-r\ dx n ~ r ' n+ri ' dx n + r ' [U<r<n). 



Designando con k una costante, si ponga : x = — , e si moltiplichi la prece- 

 dente equazione per k n+r ; si ottiene: 



1 d 1 — '(E 8 — A 2 )» __ (H 2 — k 2 ) r d"+ r (Z a — h 2 ) n 



n—r\ di n ~ r n-\-r\ di. n+r ' 



e di qui posto: 



k 2 = l — n 2 — Z\ P 2 = £ 2 + n 2 -f l 2 , 

 si ha: 



1 ò"- r (p 2 — 1)" _ (p 2 — l) r a*+r( p a _ p* 

 n — H d£"- r n+ ri òZ n + r 



Sulle 2, n, Z si immagini operata una trasformazione ortogonale in guisa che si 

 abbia: 



2 = — (*o* + M + M , Po = V #o + «/o 4- ^o ; 



Po 



(*) Jacobi, Gesamm. Werke, T. VI, p. 24. 



