22 GIACINTO MORERA 



Infatti: la funzione armonica: 



^É^j'^^rwi**- 



che si annulla sull'ellissoide, sarà sempre nulla al di fuori di esso. Allora, colla con- 

 siderazione fatta in fine del § XII, si conclude successivamente che deve essere (*): 



J q> (» . Vo, *o) D* U n .da o =0 \ 



i n = 0, 1, 2, 

 | qp (x , y , z ) D n ~ . da = ) 



sicché, considerata cp come densità di una distribuzione fatta sull'ellissoide, questa 

 produce all'esterno, e quindi anche all'interno, una funzione potenziale dappertutto 

 nulla. Dunque la <p è necessariamente nulla sull'ellissoide. 



§ 17. — Analogamente, ammessa la risolvibilità dell'equazione funzionale (XXII) 

 ove nella f le variabili x, y, z si sieno scambiate colle x , y , z , per integrazione sul- 

 l'ellissoide della (XVII) moltiplicata per cp (x, y, z) do, si conclude che qualsiasi fun- 

 zione armonica all'interno è sviluppabile in una serie di polinomi sferici, come del 

 resto risulta dalla classica teoria di Lamé. 



Notiamo in generale che nel nostro sviluppo per una qualsiasi funzione, armo- 

 nica all'esterno, i coefficienti a sono in parte indeterminati; ma che, giusta quanto 

 vedemmo ai §§ 8 e 12, essi si possono determinare in guisa che detto sviluppo con- 

 verga anche all'interno e vi rappresenti pure una fuzione armonica. Adunque pos- 

 siamo concludere: Qualsiasi funzione, armonica all'interno e all'esterno dell'ellissoide 

 fondamentale, e continua attraverso di esso, è rappresentabile colla serie: 



s 





_ x" 1 y* z 1 y+ì+r 



a 2 +s~ b 2 +s c 2 +sì ds 



iV+s) (èM-sKcH-s) 

 So 



(p + q + r = 0, 1,2, ). 



Mentre tutti i termini di questa serie sono armonici all'esterno, all'interno invece 

 è armonica soltanto la somma di quelli dello stesso ordine. 



(*) Come abbiamo rilevato nella introduzione fra le derivate » me di Un intercedono solamente 

 quelle stesse relazioni lineari ed omogenee che intercedono fra le derivate n me di — ; sicché, se: 



E 



sarà pure : ?«'■ 



V a "Ì _ 



2/™' Ò&Ò0ÒZ* ~ 0, 

 e reciprocamente. M- r 



r Jw = ° (p + q + r = n), 



