sull'attrazione degli ellissoidi, ecc. 21 



Da questa osservazione segue che, essendo il punto (x, y, z) esterno all'ellissoide 

 fondamentale, la funzione (XVII): 



u= r 1 — 



J v/(l-X)'+v (l-v) »(•) 



è armonica rispetto alle variabili x , y , z . 



Moltiplichiamo la (XVII) per una funzione arbitraria di x , y , z , che scrive- 

 remo A§cp(a; , y , z ), ed integriamo a tutto lo spazio ellissoidico. Avremo pel teorema 

 di Green: 



H^WKSr - * w W = ° ; 



e, se all'interno immaginiamo costruita quella funzione armonica cp x che sovra l'el- 

 lissoide coincide colla cp, avremo pure: 



sicché risulterà: 



jUAWdT =\u^~^dc . 



Basterà adunque moltiplicare la (XVII) per una funzione arbitraria <p(x ,y , z ) 



ed integrarla su tutto l'ellissoide fondamentale. 



In questa guisa si otterrà una funzione V, armonica all'esterno dell'ellissoide, 

 sviluppata in una serie del tipo seguente: 



(xxi) f= Ia4 



si 

 (_ l)P+s+r 



dP+9+ r (uP+9+ r 



bxi>òy'>òz r SR(s) ' 



Si 



af«/V<p(a>, y, z)da, 



"■p,i,r 2P+ì+ r p\ q\ ri ,| 



Q> + S + r = 0,l,2 ). 



Se si pone s =0 nella (XVII), si ha: 



o, , _ r i ds_ _s? (— D" n „ r jx n ds 



nx, y,z; xo, y , z ) _j ^ S(s) — ^ 2 ». n , ^ J ww : 



e però sull'ellissoide la V diviene: 



(XXII) ip (x, y, z) — j f (a?, «/, a ; x , y , z ) cp (x , y , z ) dO . 



Per conseguenza la dimostrazione della possibilità di risolvere sempre, collo 

 sviluppo (XXI), il problema di Dirichlet si riduce a provare che, data arbitraria- 

 mente sull'ellissoide la funzione ip, si può sempre trovare la funzione <p che soddisfa 

 alla precedente equazione funzionale. E facile riconoscere che, se la ip è nulla su 

 tutto l'ellissoide, la cp dev'essere parimenti nulla. 



