20 GIACINTO MOEERA 



§ 15. — Moltiplichiamo la relazione (XVIII) per una funzione arbitraria tp{x ,y ,z ) 

 ed integriamola a tutto lo spazio ellissoidico. Avremo: 



dxPdyiàz r ' 



(XX) Z = ^- f ^*=Va Pir 



V ' 2to6c J 1/(1— X)»+hv ^ 



,. ffo i Wo i ££o i _£*_ JT z^ i£°l _L 1»! I ÌL. 



ove ora o!t indica l'elemento di volume circostante al punto (x , y , z Q ). 

 I coefficienti a hanno qui le espressioni: 



a = ( -=^ 



2 n + , p\qlr\Tiabc 



x p y q z r q>(x, y, z)d\ 



Ammesso che, essendo data ad arbitrio la funzione K nell'interno dell'ellissoide, 

 si possa sempre trovare la funzione cp che rende soddisfatta la (XX), si arriva alla 

 conseguenza che K si imo sempre sviluppare in serie del tipo (XIX). 



Trovato tale sviluppo, la funzione potenziale del corpo ellissoidico di densità K 

 è senz'altro somministrata dalla serie: 



V= vabcY , a ™' f , 1 f 

 Lj P+q+rj-l J 



3P+4+'^P+9+»-+l fo 



dxPdyàz'' 31 («■) ' 



«0 



1 



6 a -j-s c'-\-& 



Mercè la trasformazione; x = al, y = br\, z = cl; x = ai', y = br\', z = cl', 

 si vede subito che la questione si riduce a dimostrare che, data la funzione mj(2,m, l) 

 entro la sfera di raggio uno, si può sempre determinare la funzione qp che rende 

 verificata l'equazione funzionale: 



_w_ rtT.n'.W 



1' 



(1— PP'cosppT+(l-p 2 )p' 2 



questione questa che non sembra sorpassare le odierne risorse dell'analisi, ove si 

 ponga mente ai bei risultati conseguiti recentemente da Fredholm in questo genere 

 di difficili ricerche (*). 



Sviluppo di una funzione armonica all'esterno dell'ellissoide. 



§ 16. — Osserviamo che se in un intorno del punto (x, y, z) la funzione U è 

 armonica, il polinomio, omogeneo del grado n in x , y , z : 



è armonico rispetto a queste ultime variabili. 

 Ciò risulta subito dall'identità simbolica: 



ove: 



ò 3 , a 2 , ò- 



AJ 



ò-V r dy<? n ò*o 2 



(*) I. Fredholm, Sur une classe d'équations fonctionneUes, " Aeta rnath. „, T. XXVII, p. 365. 



