sull'attrazione degli ellissoidi, ecc. 19 



Moltiplichiamo per ^^ ,. 9gr - (p + <z' + r' = n), ed integriamo a tutto lo spazio 

 ellissoidico t, si ottiene : 



Abbiamo così un sistema di N= ^ equazioni lineari fra le N inco- 

 gnite a p ^ r , il cui determinante D è certamente diverso da zero; quindi questo sistema 

 determina univocamente i coefficienti a PiÌjr . 



Dunque: Entro l'ellissoide lo sviluppo di una funzione K in serie del tipo (XIX), 

 se è possibile, lo è in un modo solo. 



Del resto i coefficienti del nostro sviluppo si possono calcolare tutti successi- 

 vamente, esprimendoli mediante i momenti di tutti gli ordini del corpo ellissoidico 

 rispetto ai piani coordinati. Si osservi infatti che: 



I = J <P J£ò* <ft = (-irj> v Ò > òsf CJT, 



(P -\-<l-\-r = n); 



sicché posto: 



qp = q$' yì' z r ' , 



sarà 1=0, sempre quando non si abbia contemporaneamente: 



p' ' >p ; 0' >q; r' >r. 



Dunque se: p-\-q-\-r> p' -\-q'-\-r' sarà 1=0, tranne che: p=p',q—q',r = r', 

 nel quale caso: 





 1= (_ 1)>! q\ r ! -J- raòcj n"d(l— u)t = (— 1)>! gir! -|~|- -f- . . . ~g nafte. 



1 



In generale i" è nullo quando qualcuna delle differenze p' — p, q' — q, r' — r riesce 

 o negativa dispari. 



Calcolati i coefficienti fino all'ordine n — l m0 , quelli dell'ordine n m0 si ottengono 

 moltiplicando lo sviluppo (XIX) per x p tfz T . di e integrando a tutto lo spazio ellis- 

 soidico, con che si viene ad isolare il coefficiente a M , r - 



Il coefficiente ot w è evidentemente la densità media del corpo: 



a "'°' 0— J<*t ~ 4 ■nabc ' 

 mentre a ]00 è dato dall'equazione: 



r 8 

 KxdS = — nabc a lj0>0 ; ecc 



