sull'attrazione degli ellissoidi, ecc. 17 



Sviluppi in serie. 



§ 13. — Nella (i a ) e (II„) del § 1 poniamo 2 = 0, si ottiene: 



-(l+^)+V(?+"^+^.v.(i^) ^ ui-v) = y<- „ 



i + ^+Vd + X^+^Vod-v) à n] 



Questo sviluppo è convergente per i valori di t il cui modulo non supera -5- 

 quando i punti (x , y , z ), (x, y, z) non sono esterni all'ellissoide u = e rimane conver- 

 gente anche quando questi punti cadano su di esso, purché non sia: — = —= — • 



%0 J/o So 



Posto t = 5- si ha adunque : 



•(l-xy+v,(l-v) -q-X) _V (- 1)'-' „_, . 

 v La 2».»! M ' 



n=i 



e si vede immediatamente che questa serie rimane convergente ovunque su detto 

 ellissoide sia il punto (x,y,z), giacche allora: u= 1 — v = 0, D n ~ 1 n n = 0. 



Moltiplichiamo i due membri della precedente relazione per ^j-> ec ^ integria- 

 mola, si ottiene: 





fYVTÌ r V(l-X) a +v (l-v) -(1-X) ds _V (-1)"- 1 ™-i f H". 



(XV1) J" ~^r ~m^L~2^r D J m 



A questo sviluppo applichiamo l'operazione D, si ottiene: 



,v V m f 1 ds_ _ Y (-D" nn f" J^ 



1 J J ]/(i_x)»+vo(i-v) »W _ 4?f 2 "-" ! J *W ' 



So «0 



sviluppo che si sarebbe pure ottenuto partendo dalla (III). 



I precedenti sviluppi sono validi ovunque sia il punto (x, ij, z): essendo il punto 

 (flj , y , z ) non esterno all'ellissoide fondamentale, e ritenendo ben inteso assunto : 

 So = Si, ovvero .5 = 0, secondochè il punto (x,y,z) è esterno, oppure interno, all'el- 

 lissoide stesso. 



Pongasi : 



u / . #0 I J/o" _i_ ^o" 



V ° — a 9 "+" ~W^ ? • 

 La funzione: 





è la funzione potenziale di una distribuzione fatta entro l'ellissoide colla densità: 



, «jy—V"-' 



" — Tiabc 

 Serie IL Tom. LV. c 



