16 GIACINTO MOEERA 



Formato questo sviluppo la risoluzione del problema di Dirichlet all'esterno, 

 oppure all'interno dell'ellissoide, si avrà scrivendo in luogo di tt„ quella funzione 

 armonica che sull'ellissoide prende i valori di rr„ (*). 



Ora, per quanto abbiamo veduto al § 7, si ha: 



_V I») bP+l+rUJfli+r T j { 0) _ 1.3-2»+l f" V"ds 



"~"Zj M ' r dxrdyid* ' " — 2"+ 1 »! J &(«) ' 



p,q,r 



ÌP + q + f = n, n — 2 , » — 4 , . . .) ■ 

 Dunque : 



(aP««a5 = a ?> , jr ). 



Questa conclusione non è con ciò rigorosamente stabilita; in seguito tornerò 

 sull'argomento. 



Ammesso lo sviluppo (XV), ponendo in esso in luogo di f7| 01 la funzione armo- 

 nica U n , si sarà risoluto all'esterno il problema di Dirichlet. 



Ammesso che una qualsiasi funzione V, armonica all'esterno dell'ellissoide, si 

 possa rappresentare colla serie indicata, si vede subito che i coefficienti a Mir sono 

 determinati, prescindendo ben inteso dall'indeterminatezza dovuta alla circostanza 



che tra le nostre armoniche elementari àe\\'n mo ordine passano -^ — relazioni lineari. 



Consideriamo infatti lo spazio esterno alla sfera circoscritta all'ellissoide; com'è 

 noto ogni funzione armonica in detto spazio si può rappresentare con una serie del tipo : 



Zt^ + ^ + ^J 7 ; 



sicché, rammentato che all'infinito U n è asintotica ad — , dal paragone dei due svi- 

 luppi per la V, risulterà determinato il primo coefficiente a 0AO della nostra serie. 

 Considerato di poi lo sviluppo dell'ultimo tipo per l'armonica: 



e paragonatolo col nostro, risulteranno determinati i coefficienti: a 1)0 ,o; «o,i,o; a o,o,i- 

 Del pari considerati i due sviluppi per l'armonica: 



r — U °A0 <^o u i,o,o j. x — a o,i,o * — «o,o,i ^rr i 

 dal confronto risulteranno determinati i coefficienti: 



a 2,n,(p ■ 



e così via. 



La difficoltà di calcolare i coefficienti <x Mir del nostro sviluppo, sembra renderne 

 l'impiego meno vantaggioso del classico sviluppo per prodotti SMN di Lamé, della 

 2 a specie, i coefficienti del quale hanno una espressione tanto elegante. 



(*) Questa osservazione è di data molta antica. Vedi : Liouville, Sur diverse* questiona d'analyse 

 et physique math., " Journal de math. „, l a Serie, tomo X, p. 223 (1845). 



