SULL'ATTRAZIONE DEGLI ELLISSOIDI, ECC. 



di equazioni lineari certamente risolvibili [Vedi le equazioni (XI) e (XIV)]. Così si 

 può sempre ottenere la funzione potenziale dello strato sotto la forma (IX) e (X) (*). 



Risoluzione del problema di Dirichlet 

 all'esterno dell'ellissoide. 



§ 12. — Una funzione <p data sovra la sfera di raggio uno, si può, con certe 

 limitazioni alla sua arbitrarietà, di cui non è il caso di qui tener parola, rappresentare 

 con una serie di funzioni sferiche: 



<P = «Po 4~ <Pi -r q>2 + + <P„ -f- . . . , 



ove q>„ indica una funzione sferica dell'n™ ordine. Una tal funzione sferica poi, com'è 

 ben noto, si può sempre porre sotto forma di una funzione intera ed omogenea, del 

 grado n m °, dei tre argomenti: 



cosG, senOcostu, senQsenuj, 



ove al solito 9 indica la distanza polare e uj la longitudine del punto variabile 

 sulla sfera. 



Data ad arbitrio sull'ellissoide fondamentale: 



9 19 



r i V~ J_ *■ -, 



— ~ ~\ JT -\ 5" — 1 



<r o e 



una funzione cp, ed osservato che all'equazione dell'ellissoide si soddisfa ponendo: 



a; = asen0 cosiu, y = òsen9 seno), # = ccos9, 



la funzione cp può riguardarsi come una funzione di 9 e uj data su tutta la sfera 

 di raggio uno. Sviluppata la cp(9, uj) in una serie di funzioni sferiche, introducendo 



in luogo di: cos9, sen9cosuj, senGcosuu rispettivamente: — , — , -|-la<p„ si converte 



in un polinomio tt„, omogeneo, del grado n mo in x,y,z; sicché per cp avremo lo 

 sviluppo : 



<P = TTo + "l + -f TT„ -f- 



(*) Se il fattore -»- , che nell'espressione di h moltiplica P, è una funzione intera ed omogenea, 

 del grado n mo , la funzione potenziale dello strato si deduce subito da quella dell'ellissoide di den- 



sita -=■ coll'applicarvi l'operazione: 



(»+ 2 >-(*è+*i+*A)- 



Vedi: Feerers, On the Potentiaìs of Ellipsoids, Ellipsoidal Sìiells ecc. (" Quarterly Journal of Math. „, 

 voi. XIV, p. 16-17). In questo interessantissimo lavoro del Ferrera è pure esposto un procedimento 

 per ottenere la funzione potenziale dell'ellissoide eterogeneo che è affine al nostro. 



