14 GIACINTO MOREEA 



§ IO. — Se la funzione potenziale che si pone sotto la forma (IX), (X) è quella 

 di un corpo ellissoidico, la cui densità è una funzione intera, di grado n — 2, come 

 notammo, la corrispondente espressione (XII) della h deve annullarsi sull'ellissoide, 

 quindi la funzione intera di grado n che comparisce al secondo membro della (XII) 

 deve contenere in fattore u . Di qui scende immediatamente che l'espressione della V 

 è necessariamente della forma: 



\ P,ì,r 



, YTm ) L_i ig» a* i 7,2 a 2 i ,9. & \ »*i^^tw l 



IA1UJ ^ 4Cp+ ff -r-r+l) (p+2+r+2) \ dz 3 ^ ò*, 2 ^ dz 2 I dxPbyibz' J' 



La corrispondente densità & si trova ovviamente essere: 



P,?r 



ed effettivamente, come si vide al § 6, qualsiasi polinomio di grado n — 2 simo può 

 essere esibito in questa forma. 



Così la funzione potenziale dell'ellissoide omogeneo di massa M può scriversi: 



v— M \tt a ~ d * L 



d'Ut b" ò 2 *7, e 2 ò 2 K, 



ò,f 



§ 11. — Consideriamo uno strato ellissoidale la cui densità è uguale al pro- 

 dotto di una funzione intera di grado n per .la distanza P fra il centro ed il piano 

 tangente all'ellissoide; e cioè, supponiamo che h sia dato sotto la forma (XII). 



Conoscendosi allora i coefficienti a possiamo immediatamente formare la fun- 

 zione V definita da (IX) e (X). Questa è la funzione potenziale dello strato e del 

 corpo ellissoidico la cui densità k è somministrata dalla (XI); sicché, detta V la 

 funzione potenziale di quest'ultimo, la funzione potenziale dello strato è V — V. Ma 

 anche la V, come or ora abbiamo veduto, può porsi sotto la forma (XIII), sicché la 

 funzione potenziale dello strato considerato può essere posta sotto la forma (IX), (X). 



Osserviamo che l'espressione della h, a cagione dell'equazione della superficie, 



P 

 può porsi sotto infinite forme diverse, se h = — cp (x, y, z) è una qualunque di esse, 



la più generale sarà: 



h — ~2 M x > 2/' z ) + M<M*, y, z)} , 



ove vjj indica un polinomio del grado n — 2 a coefficienti indeterminati. 



Per quanto abbiamo precedentemente veduto si conclude adunque che i coeffi- 

 cienti di v si possono sempre determinare in guisa che formata la funzione V la 

 corrispondente k risulti uguale a zero, e questa determinazione richiede la risoluzione 



