sull'attrazione degli ellissoidi, ecc. 13 



Sia Vi la funzione potenziale interna dell'ellissoide; determiniamo la funzione ijj in 

 guisa che V { -\- u i(j risulti armonica. 



Si costruisca secondo (IX) e (X) la funzione V che all'interno dell'ellissoide 

 coincide con u vjj. 



Siccome V è nulla sull'ellissoide lo sarà dappertutto fuori e, per le proprietà 

 delle nostre armoniche ellissoidali che abbiamo rilevate nella introduzione, si vede 

 subito che sarà necessariamente: 



tri i. a V f" ò?+9+ r |aP+«+ r + S! ds 



V = ttoocAo ^ 



°W \ 



òxPòy q dz r 3t(s) ' 



(p -\- q -\- r < n — 2). 



Per mezzo della (XII) si determini la densità superficiale h, corrispondente alla 

 distribuzione di funzione potenziale V, densità che è uguale a quella corrispondente 

 alla funzione potenziale F-f- V. Si trova agevolmente: 



(xiu fe=-|y ( _ 2 )p-H + r (p + 2+r+2)!aM _ r /^v/jLì^j 



v,i, T 



Ma essendo V -\- V armonica tanto all'interno che all'esterno dell'ellissoide, 

 essa è la funzione potenziale dello strato di densità h, ed inoltre, poiché all'esterno 

 V' = 0, si conclude che questo strato all'esterno esercita la stessa attrazione del 

 corpo ellissoidico considerato. 



Reciprocamente, dato li nella forma (XII Ws ), possiamo immediatamente scrivere 

 la espressione della V e quindi calcolare la densità del corpo ellissoidico: 



A 2 F A 9 F' 



4ir 4ir 



In altri termini abbiamo il teorema seguente: 



Un corpo ellissoidico, nel quale la densità è una qualsiasi funzione intera delle 

 coordinate, esercitata all'esterno la stessa attrazione di uno strato ellissoidale, la cui 

 densità è uguale ad una funzione intera, dello stesso grado, -divisa per la perpendicolare 

 calata dal centro sul piano tangente all'ellissoide; e reciprocamente. 



Se n — 0, abbiamo di qui come corollario la ben nota proprietà : Lo strato omo- 

 focale di densità: h=—, all'esterno esercita la stessa attrazione dell'ellissoide omo- 

 geneo di densità: k = — r+^H — r- 



In generale, data una funzione V della forma (IX), (X), non è difficile trovare 

 esplicitamente le espressioni dei coefficienti a, che figurano in V, in guisa che anche 

 all'interno dell'ellissoide si abbia: 



A 2 (F+F') = 0; 

 ma di ciò mi occuperò in altra occasione. 



