12 GIACINTO MOEERA 



§ 8. — Se la funzione intera, che si è posta sotto la forma (IX), è un polinomio 

 armonico, si avrà: 



*=-^? = o. 



ed allora la V è la funzione potenziale dello strato ellissoidale di densità h. 



Ora si ha il Lemma : Essendo dato un polinomio cp(x, y, z) , di grado n , si può 

 sempre trovare un altro polinomio i|j(x, y, z), di grado n^-2, tale che il polinomio 



<P(z, 2/, z) + Mo.iKz, y, z) 

 risulti armonico. 



In altri termini, la funzione armonica all'interno dell'ellissoide, che sovra di 

 questo assume i valori di una intera, è pure una funzione intera dello stesso grado. 



Questa proposizione si dimostra come segue. 



Detto <p„ una forma ternaria di grado n, per qp = cp„ si ponga : 



V = CP„_., + CP n _ 4 + ..., 



L'equazione di Laplace diviene: 



A 2 cp„ — A 2 (v cp„_,) + A 2 cp„_, — A 2 (v qp„_ 4 ) -f ... = 0, 



e quindi si spezza nelle equazioni: 



A 2 (v <p„_ 2 ) = A 2 cp„ ; A 2 ( v cp„_ 4 ) = A 2 cp„_, ; ecc.... 



Si vede facilmente che la l a di queste equazioni determina i coefficienti di cp„_ 2 , 

 la 2 a determina successivamente quelli di <p„_4, e così via. 



Identificando i due membri in ciascuna delle equazioni precedenti, si ottiene, per 

 determinare i coefficienti delle forme qp„_,, qp„_ 4 , ..., un sistema di altrettante equa- 

 zioni lineari, il cui determinante D non può essere nullo. 



Infatti : suppongasi D = , assumendo cp„ = , le equazioni lineari anzidette, 

 che divengono omogenee, darebbero per i coefficienti dei valori non tutti nulli, sicché 

 la funzione u hj risulterebbe una funzione armonica, non identicamente nulla, che si 

 annulla sull'ellissoide (j = 0. 



Concludiamo adunque per il lemma stabilito: 



La 'funzione armonica, all'esterno ed all'interno dell'ellissoide, che sovra di questo 

 diviene uguale ad una qualunque funzione intera, di grado n, è la funzione potenziale 

 di una distribuzione fatta sull'ellissoide con densità uguale al prodotto dì una funzione 

 intera, del grado n mo ; per la distanza fra il piano tangente ed il centro dell' ellissoide. 



§ 9. — Consideriamo un corpo ellissoidico la cui densità sia una funzione intera 

 di grado n — 2. 



La sua funzione potenziale si può porre sotto la forma (IX), (X) ; però la corri- 

 spondente espressione (XII) deve risultare nulla sull'ellissoide. 



